Sejam e B=(lll2 & 3 & 0 2 & 3 & 1 2 & 2 & 0). Calcule det((A^2)^T B^-1). Obs: C^T denota a transposta da matriz C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de . Aqui, estamos lidando com matriz, determinantes, transposição e inversa de matrizes. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos determinantes e saber calcular determinantes de matrizes 3x3.
Passo 2
Primeiro, vamos usar algumas propriedades importantes dos determinantes que vão facilitar nossa vida:
Determinante da Transposta:
Determinante da Inversa:
Determinante do Produto:
Essas propriedades são super úteis para simplificar expressões complicadas de determinantes.
Passo 3
Vamos aplicar essas propriedades na expressão que queremos calcular:
det((A^2)^T B^-1) = det((A^2)^T) cdot det(B^-1)
Usando a propriedade 1, sabemos que det(A^2) cdot det(B^-1) .
Então, a expressão fica:
Passo 4
Continuando, vamos usar a propriedade 3 e a propriedade 2:
det(A^2) = (det(A))^2
det(B^-1) = 1det(B)
Então, substituindo na expressão anterior:
(det(A))^2 cdot 1det(B)
Passo 5
Agora, precisamos calcular A = 1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 -1 & -1 & 1 e det(A) = 1 times 3 times 1 = 3 .
Calculando B = 2 & 3 & 0 2 & 3 & 1 2 & 2 & 0 :
Matriz det(B) = 2(3 times 0 - 1 times 2) - 3(2 times 0 - 1 times 2) + 0() é:
Observamos que é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Calculando :
Matriz é:
Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Passo 6
Agora que temos (det(A))^2 cdot 1det(B) = 3^2 cdot 12 = 9 cdot 12 = 92 e , vamos substituir esses valores na expressão que montamos: