Sejam e . Calcule . Obs: denota a transposta da matriz .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de . Aqui, estamos lidando com matriz, determinantes, transposição e inversa de matrizes. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos determinantes e saber calcular determinantes de matrizes 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos usar algumas propriedades importantes dos determinantes que vão facilitar nossa vida:
  1. Determinante da Transposta:
  2. Determinante da Inversa:
  3. Determinante do Produto:
Essas propriedades são super úteis para simplificar expressões complicadas de determinantes.

Passo 3

Vamos aplicar essas propriedades na expressão que queremos calcular:
Usando a propriedade 1, sabemos que .
Então, a expressão fica:

Passo 4

Continuando, vamos usar a propriedade 3 e a propriedade 2:
Então, substituindo na expressão anterior:

Passo 5

Agora, precisamos calcular e .
Calculando :
Matriz é:
Observamos que é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Calculando :
Matriz é:
Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:

Passo 6

Agora que temos e , vamos substituir esses valores na expressão que montamos:

Resposta

O valor de é .

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