Sejam e . Calcule . Obs: denota a transposta da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de . Aqui, estamos lidando com matriz, determinantes, transposição e inversa de matrizes. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos determinantes e saber calcular determinantes de matrizes 3x3.
Passo 2
Primeiro, vamos usar algumas propriedades importantes dos determinantes que vão facilitar nossa vida:
Determinante da Transposta:
Determinante da Inversa:
Determinante do Produto:
Essas propriedades são super úteis para simplificar expressões complicadas de determinantes.
Passo 3
Vamos aplicar essas propriedades na expressão que queremos calcular:
Usando a propriedade 1, sabemos que .
Então, a expressão fica:
Passo 4
Continuando, vamos usar a propriedade 3 e a propriedade 2:
Então, substituindo na expressão anterior:
Passo 5
Agora, precisamos calcular e .
Calculando :
Matriz é:
Observamos que é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Calculando :
Matriz é:
Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Passo 6
Agora que temos e , vamos substituir esses valores na expressão que montamos: