Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Sejam um espaço vetorial de dimensão e um operador linear não nulo. Se e um autovalor de , então ou ou .
Passo 1
Beleza, vamos analisar a afirmação que nos foi dada. Temos um espaço vetorial de dimensão e um operador linear que não é nulo. A proposição diz que se e é um autovalor de , então deve ser igual a 0, 1 ou -1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores lineares, autovalores e como eles se relacionam com a equação .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Se é um autovalor de , existe um vetor não nulo em tal que . Isso significa que a ação de em simplesmente o “escala” por .
Passo 3
Agora, vamos usar a condição dada . Isso quer dizer que se aplicarmos três vezes seguidas, é a mesma coisa que aplicar uma vez. Vamos ver como isso afeta o autovalor .
Passo 4
Aplicando três vezes no vetor , temos:
Por outro lado, pela condição :
Então, igualando as duas expressões:
Passo 5
Como é um vetor não nulo, podemos dividir ambos os lados por (mais precisamente, considerar as equações dos coeficientes):
Isso simplifica para:
Portanto, as soluções são , ou .
Resposta
A proposição é verdadeira. Se e é um autovalor de , então necessariamente , ou .