Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Sejam
um espaço vetorial de dimensão
e
um operador linear não nulo. Se
e
um autovalor de
, então
ou
ou
.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos analisar a afirmação que nos foi dada. Temos um espaço vetorial
de dimensão
e um operador linear
que não é nulo. A proposição diz que se
e
é um autovalor de
, então
deve ser igual a 0, 1 ou -1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores lineares, autovalores e como eles se relacionam com a equação
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Se
é um autovalor de
, existe um vetor não nulo
em
tal que
. Isso significa que a ação de
em
simplesmente o “escala” por
.
Passo 3
Agora, vamos usar a condição dada
. Isso quer dizer que se aplicarmos
três vezes seguidas, é a mesma coisa que aplicar
uma vez. Vamos ver como isso afeta o autovalor
.
Passo 4
Aplicando
três vezes no vetor
, temos:
Por outro lado, pela condição
:
Então, igualando as duas expressões:
Passo 5
Como
é um vetor não nulo, podemos dividir ambos os lados por
(mais precisamente, considerar as equações dos coeficientes):
Isso simplifica para:
Portanto, as soluções são
,
ou
.
Resposta
A proposição é verdadeira. Se
e
é um autovalor de
, então necessariamente
,
ou
.