Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Sejam V um espaço vetorial de dimensão n e T: V V um operador linear não nulo. Se T^3=T e lambda um autovalor de T, então lambda=0 ou lambda=1 ou lambda=-1.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a afirmação que nos foi dada. Temos um espaço vetorial de dimensão e um operador linear que não é nulo. A proposição diz que se e é um autovalor de , então deve ser igual a 0, 1 ou -1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores lineares, autovalores e como eles se relacionam com a equação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Se é um autovalor de , existe um vetor não nulo em tal que . Isso significa que a ação de em simplesmente o “escala” por .

Passo 3

Agora, vamos usar a condição dada . Isso quer dizer que se aplicarmos três vezes seguidas, é a mesma coisa que aplicar uma vez. Vamos ver como isso afeta o autovalor .

Passo 4

Aplicando T^3(v) = T(T(T(v))) = T(T(lambda v)) = T(lambda T(v)) = T(lambda (lambda v)) = T(lambda^2 v) = lambda^2 T(v) = lambda^2 (lambda v) = lambda^3 v três vezes no vetor T^3(v) = T(v) = lambda v , temos:
lambda^3 v = lambda v
Por outro lado, pela condição :
Então, igualando as duas expressões:

Passo 5

Como lambda^3 = lambda é um vetor não nulo, podemos dividir ambos os lados por lambda^3 - lambda = 0 lambda(lambda^2 - 1) = 0 lambda(lambda - 1)(lambda + 1) = 0 (mais precisamente, considerar as equações dos coeficientes):
Isso simplifica para:
Portanto, as soluções são , ou .

Resposta

A proposição é verdadeira. Se e é um autovalor de , então necessariamente , ou .

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