Sejam A,B,C e D, nesta ordem, os vértices de um losango cujo lado mede . Sendo de o ângulo entre o lado e a diagonal maior , calcule: Resp: 2 raiz3
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um losango com os vértices A, B, C e D, onde cada lado mede 2 cm. O ângulo entre o lado AB e a diagonal maior AC é de 30°. Nosso objetivo é calcular o valor de . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como vetores e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura do losango. Num losango, todas as diagonais se cruzam perpendicularmente e se cortam ao meio. A diagonal maior aqui é AC, e sabemos que ela forma um ângulo de 30° com o lado AB. Vamos desenhar o losango e identificar os vetores e .
Passo 3
Vamos determinar as coordenadas dos vértices para facilitar os cálculos. Vamos posicionar o ponto A na origem (0,0). Como o lado AB mede 2 cm e forma um ângulo de 30° com a diagonal AC, podemos usar trigonometria para encontrar as coordenadas dos outros pontos.
Passo 4
O vetor AC = 2 cos(30°) e AC = 2 sin(30°) tem direção de 0°, então suas coordenadas são (2,0). A diagonal AC forma um ângulo de 30° com AB, então usamos seno e cosseno para encontrar as coordenadas de C:
cos(30°) = raiz32, sin(30°) = 12
Calculando:
C = (2 cdot raiz32, 2 cdot 12) = (raiz3, 1)
Então,
Passo 5
Agora, como as diagonais de um losango se cortam ao meio e são perpendiculares, o ponto D fica simétrico em relação a C, refletindo sobre o ponto médio AC. Assim, as coordenadas de D serão:
D = (raiz3, -1)
E o ponto B, sendo adjacente a A, terá coordenadas (2,0).
Passo 6
Vamos agora definir os vetores BD = D - B = (raiz3 - 2, -1 - 0) = (raiz3 - 2, -1) e CD = D - C = (raiz3 - raiz3, -1 - 1) = (0, -2) :
Passo 7
Para calcular o produto vetorial u times v = ux vy - uy vx , usamos a fórmula para vetores no plano: