Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Sejam um espaço vetorial e um operador linear. Se é um número real tal que é um autovalor de associado ao autovetor , então é um autovalor de associado ao autovetor .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com espaços vetoriais e operadores lineares. A questão nos dá que é um autovalor de com autovetor, e precisamos descobrir se é um autovalor de com o mesmo autovetor . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como os autovalores e autovetores se comportam quando aplicamos potências de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovalor e um autovetor. Se é um operador linear e é um vetor não nulo, então é um autovetor de associado ao autovalor se:
Isso significa que aplicar em simplesmente escala por .
Passo 3
Agora, sabemos que é um autovalor de com autovetor . Aplicando a definição acima para , temos:
Isso quer dizer que aplicar duas vezes em resulta em escalar por .
Passo 4
Vamos ver o que acontece quando aplicamos em . Sabemos que:
Como já sabemos que , podemos substituir:
Como é linear, podemos tirar o escalar de fora:
E sabemos que , então:
Passo 5
O que acabamos de descobrir é que:
Isso significa que, ao aplicar em , o resultado é escalar por . De acordo com a definição de autovalor e autovetor, isso mostra que é, de fato, um autovalor de associado ao autovetor .