(Simon & Blume - Exercício 7.20) Compute o posto de cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é basicamente o número de linhas ou colunas mais independentes que ela tem. Para isso, vamos precisar usar operações de linha e entender um pouco sobre espaços vetoriais. Vamos usar a matriz dada:
Passo 2
Primeiro, vamos começar deixando o elemento da primeira linha e primeira coluna como 1, o que já está feito. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso, vamos subtrair a primeira linha da segunda, da terceira e multiplicar a primeira linha por 2 e subtrair da quarta.
Então:
- Linha 2 = Linha 2 - Linha 1
- Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
- Linha 4 = Linha 4 - 2 * Linha 1
Passo 3
Realizando as subtrações:
- Linha 2: (1-1, 9-6, -6-(-7), 4-3, 9-5) = (0, 3, 1, 1, 4)
- Linha 3: (1-1, 3-6, -8-(-7), 4-3, 2-5) = (0, -3, -1, 1, -3)
- Linha 4: (2-21, 15-26, -13-2*(-7), 11-23, 16-25) = (0, 3, 1, 5, 6)
A matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Primeiro, vamos deixar o segundo elemento da segunda linha como 1 dividindo a linha por 3:
- Linha 2 = (0, 3, 1, 1, 4) / 3 = (0, 1, 1/3, 1/3, 4/3)
Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo desse 1 na segunda coluna:
- Linha 1 = Linha 1 - 6 * Linha 2
- Linha 3 = Linha 3 + 3 * Linha 2
- Linha 4 = Linha 4 - 3 * Linha 2
Passo 5
Realizando as operações:
- Linha 1: (1, 6, -7, 3, 5) - 6*(0,1,1/3,1/3,4/3) = (1, 0, -9, 1, 1)
- Linha 3: (0, -3, -1, 1, -3) + 3*(0,1,1/3,1/3,4/3) = (0, 0, 0, 2, 1)
- Linha 4: (0, 3, 1, 5, 6) - 3*(0,1,1/3,1/3,4/3) = (0, 0, 0, 4, 2)
A matriz agora está assim:
Passo 6
Vamos continuar simplificando. Observamos que as linhas 3 e 4 têm os mesmos elementos em relação às últimas colunas. Vamos deixar o elemento da terceira linha e quarta coluna como 1 dividindo a linha por 2:
- Linha 3 = (0, 0, 0, 2, 1) / 2 = (0, 0, 0, 1, 0.5)
Agora, vamos zerar o elemento abaixo desse 1 na quarta coluna:
- Linha 4 = Linha 4 - 4 * Linha 3
Passo 7
Realizando a operação:
- Linha 4: (0, 0, 0, 4, 2) - 4*(0,0,0,1,0.5) = (0, 0, 0, 0, 0)
A matriz fica assim:
Passo 8
Agora, observamos que temos três linhas não nulas, cada uma com um pivô diferente (1 nas colunas 1, 2 e 4). Isso significa que temos três diretamente independentes na matriz original.
Resposta
O posto da matriz é 3.