(Simon & Blume - Exercício 7.20) Compute o posto de cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular o posto dessa matriz que o professor deu. Posto de uma matriz é basicamente o número de linhas ou colunas que são linearmente independentes. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como operações com matrizes e redução para a forma escalonada. Vamos precisar manipular as linhas da matriz para descobrir quantas delas são realmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz original para ficar mais fácil de visualizar:
1 & 6 & -7 & 3 1 & 9 & -6 & 4 1 & 3 & -8 & 4
Nossa missão é transformar essa matriz para uma forma mais simples, chamada forma escalonada, usando operações de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar linhas).
Passo 3
Vamos começar tentando zerar os números abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira linhas.
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter um 1 no segundo pivô, então vamos dividir a segunda linha por 3:
1 & 6 & -7 & 3 0 & 1 & 13 & 13 0 & -3 & -1 & 1
Passo 5
Com o segundo pivô em 1, vamos zerar o valor abaixo dele na terceira linha. Para isso, adicionamos 3 vezes a segunda linha à terceira linha:
1 & 6 & -7 & 3 0 & 1 & 13 & 13 0 & 0 & 0 & 2
Passo 6
Agora, observamos que na terceira linha, temos zeros nos primeiros três elementos e um 2 no último. Isso significa que essa linha não é uma combinação das anteriores, ou seja, é uma linha independente.
Passo 7
Finalmente, contamos quantas linhas não nulas temos na forma escalonada. As três linhas têm pelo menos um elemento não zero, então todas são independentes.