Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
Mostre que se a derivada de
for igual a -1 para todo
, então
com
em
, será solução da equação.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve o movimento de uma partícula no eixo
:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo
, e
é a primeira derivada. O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Nosso objetivo é verificar se uma função
cuja derivada
é igual a
para todo
satisfaz essa equação. Ou seja, precisamos mostrar que, ao substituir
na equação dada, a equação se mantém verdadeira.
Passo 2
Sabemos que
. Para encontrar
, vamos integrar essa derivada em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Portanto, a função
tem a forma:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada de
, ou seja,
. Como
, que é uma constante, a derivada de
em relação a
é:
Portanto,
.
Passo 4
Com as expressões para
,
e
, vamos substituir esses valores na equação original:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Ao somar os termos semelhantes:
Isso mostra que a equação é satisfeita para qualquer valor de
.
Resposta
Portanto, se
para todo
, a função
é solução da equação diferencial dada.
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que satisfaça as condições dadas.
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