Suponha que o movimento de uma partícula no eixo x seja regido pela equação
ddot(x) + x dot(x) + x = 0
Mostre que se a derivada de x = x(t) for igual a -1 para todo t, então x = x(t) com t em R, será solução da equação.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve o movimento de uma partícula no eixo x:
Aqui, representa a segunda derivada de x em relação ao tempo t, e é a primeira derivada. O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Nosso objetivo é verificar se uma função x(t) cuja derivada é igual a -1 para todo t satisfaz essa equação. Ou seja, precisamos mostrar que, ao substituir na equação dada, a equação se mantém verdadeira.

Passo 2

Sabemos que . Para encontrar x(t), vamos integrar essa derivada em relação a t:
Onde C é a constante de integração. Portanto, a função x(t) tem a forma:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada de x(t), ou seja, . Como , que é uma constante, a derivada de em relação a t é:
Portanto, .

Passo 4

Com as expressões para x(t), e , vamos substituir esses valores na equação original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Ao somar os termos semelhantes:
Isso mostra que a equação é satisfeita para qualquer valor de C.

Resposta

Portanto, se para todo t, a função é solução da equação diferencial dada.

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