Suponha que o movimento de uma partícula no eixo seja regido pela equação
Mostre que se a derivada de for igual a -1 para todo , então com em , será solução da equação.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve o movimento de uma partícula no eixo :
Aqui, representa a segunda derivada de em relação ao tempo , e é a primeira derivada. O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Nosso objetivo é verificar se uma função cuja derivada é igual a para todo satisfaz essa equação. Ou seja, precisamos mostrar que, ao substituir na equação dada, a equação se mantém verdadeira.

Passo 2

Sabemos que . Para encontrar , vamos integrar essa derivada em relação a :
Onde é a constante de integração. Portanto, a função tem a forma:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada de , ou seja, . Como , que é uma constante, a derivada de em relação a é:
Portanto, .

Passo 4

Com as expressões para , e , vamos substituir esses valores na equação original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Ao somar os termos semelhantes:
Isso mostra que a equação é satisfeita para qualquer valor de .

Resposta

Portanto, se para todo , a função é solução da equação diferencial dada.

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