Resolva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo . A matéria aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente equações diferenciais separáveis. Pra resolver isso, a gente vai precisar separar as variáveis y e x para conseguir integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. A ideia é colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro lado. Então, podemos reescrever a equação assim:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é simples:
Onde é o logaritmo natural e é a constante de integração.

Passo 4

No lado direito, precisamos integrar . Podemos fazer isso decompondo a fração:
Então, a integral fica:

Passo 5

Juntando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar juntando as constantes:

Passo 6

Para resolver para y, vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponenciação em ambos os lados:
Como é apenas uma constante positiva, podemos chamar de :
Onde é uma constante real.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Determine que satisfaça as condições dadas.
Verifique que a função dada é solução da equação dada.
e
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo seja regido pela equação
Mostre que se a derivada de for igual a -1 para todo , então com em , será solução da equação.
Resolva.