Determine y = y(x) que satisfaça as condições dadas. d y/d x = (3 x^2 + 4 x + 2) / (2(y - 1)), y(0) = 1.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial . Aqui, vamos usar o método de variáveis separáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde podemos separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis e . Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e do lado direito em relação a :

Passo 5

Calculando as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:

Passo 6

Igualamos as duas integrais e adicionamos a constante de integração :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :

Passo 8

Substituímos de volta na equação:

Passo 9

Organizamos para isolar :

Passo 10

Finalmente, extraímos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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