Determine
que satisfaça as condições dadas.
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial
e a condição inicial
. Aqui, vamos usar o método de variáveis separáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde podemos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis
e
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e do lado direito em relação a
:
Passo 5
Calculando as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 6
Igualamos as duas integrais e adicionamos a constante de integração
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Passo 8
Substituímos
de volta na equação:
Passo 9
Organizamos para isolar
:
Passo 10
Finalmente, extraímos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais:
Represente geometricamente a região cuja área é calculada por
Mostre que as funções
e
, em que
e
são constantes arbitrárias, são soluções para a equação diferencial
. Em seguida, verifique se a soma das duas soluções também é solução da equação diferencial.
Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por