Mostre que as funções
e
, em que
e
são constantes arbitrárias, são soluções para a equação diferencial
. Em seguida, verifique se a soma das duas soluções também é solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que as funções
e são soluções da equação diferencial
. Depois, vamos ver se a soma dessas duas funções também resolve a mesma equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas dessas funções e aplicar o que a equação diferencial pede.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a função
. Para isso, precisamos encontrar a segunda derivada dessa função.
A primeira derivada de
em relação a
é:
Agora, vamos calcular a segunda derivada:
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial
:
Então, a função
satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a função .
A primeira derivada de
é:
A segunda derivada é:
Substituindo na equação diferencial:
Portanto, a função também é uma solução da equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a soma das duas funções também é solução da equação diferencial.
Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Em seguida, a segunda derivada:
Agora, substituímos na equação diferencial:
Então, a soma das duas funções também satisfaz a equação diferencial.
Resposta
As funções
e são soluções da equação diferencial
, e a soma dessas duas funções também é uma solução da mesma equação.
Exercícios relacionados
Determine
que satisfaça as condições dadas.
.
Resolva as equações diferenciais:
Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por
Resolva as equações diferenciais: