Mostre que as funções e , em que e são constantes arbitrárias, são soluções para a equação diferencial . Em seguida, verifique se a soma das duas soluções também é solução da equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que as funções e são soluções da equação diferencial . Depois, vamos ver se a soma dessas duas funções também resolve a mesma equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas dessas funções e aplicar o que a equação diferencial pede.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a função . Para isso, precisamos encontrar a segunda derivada dessa função.
A primeira derivada de em relação a é:
Agora, vamos calcular a segunda derivada:
Agora, vamos substituir e na equação diferencial :
Então, a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a função .
A primeira derivada de é:
A segunda derivada é:
Substituindo na equação diferencial:
Portanto, a função também é uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a soma das duas funções também é solução da equação diferencial.
Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Em seguida, a segunda derivada:
Agora, substituímos na equação diferencial:
Então, a soma das duas funções também satisfaz a equação diferencial.

Resposta

As funções e são soluções da equação diferencial , e a soma dessas duas funções também é uma solução da mesma equação.

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