Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que representar geometricamente uma região no plano polar cuja área é dada pela expressão:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral em coordenadas polares para encontrar áreas. Vamos precisar entender como calcular áreas em coordenadas polares e como interpretar as funções dadas dentro dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula geral para a área é:
Onde é a função que descreve a curva em termos de , e e são os limites de integração que definem o intervalo de sobre o qual queremos calcular a área.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão da área dada na questão:
Podemos notar que há dois integrais, cada um multiplicado por , e todo o resultado é multiplicado por 2. Simplificando, isso significa que estamos somando as áreas dessas duas partes.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos interpretar cada parte. A primeira integral:
Representa a área sob a curva de a .
A segunda integral:
Representa a área sob a curva de a .

Passo 6

Para representar geometricamente a região, vamos desenhar cada uma dessas curvas no plano polar nos respectivos intervalos de :
  1. Para de a :
    • Começa no polo ( quando ).
    • Aumenta até .
  2. Para de a :
    • Calculamos nos extremos:
      • : .
      • : .
    • A curva começa em e diminui até .

Passo 7

Juntando as duas partes, teremos uma região no plano polar que começa no polo, se expande seguindo até , e depois se contrai seguindo até .

Passo 8

Para visualizar, imagine o gráfico polar onde:
  • De a , desenhamos a curva que vai de até .
  • De a , desenhamos a curva que vai de de volta para .
Isso forma uma espécie de “folha” ou setor que cobre essas duas regiões distintas.

Resposta

A região geométrica no plano polar é formada pela união das curvas de a e de a , formando uma área composta conforme a expressão dada.

Exercícios relacionados

Mostre que as funções e , em que e são constantes arbitrárias, são soluções para a equação diferencial . Em seguida, verifique se a soma das duas soluções também é solução da equação diferencial.
Determine que satisfaça as condições dadas. .
Resolva as equações diferenciais:
Resolva as equações diferenciais: