Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por
I=2[12 integral0^pi6 sin ^2 theta d theta+12 integralpi6^pi4 cos ^2(2 theta) d theta]

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que representar geometricamente uma região no plano polar cuja área é dada pela expressão:
I = 2[12 integral0^pi6 sin^2 theta , dtheta + 12 integralpi6^pi4 cos^2(2theta) , dtheta]
Aqui, estamos lidando com cálculo integral em coordenadas polares para encontrar áreas. Vamos precisar entender como calcular áreas em coordenadas polares e como interpretar as funções dadas dentro dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula geral para a área A = 12 integralalpha^beta r(theta)^2 , dtheta é:
Onde é a função que descreve a curva em termos de , e e são os limites de integração que definem o intervalo de sobre o qual queremos calcular a área.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão da área dada na questão:
I = 2[12 integral0^pi6 sin^2 theta , dtheta + 12 integralpi6^pi4 cos^2(2theta) , dtheta]
Podemos notar que há dois integrais, cada um multiplicado por , e todo o resultado é multiplicado por 2. Simplificando, isso significa que estamos somando as áreas dessas duas partes.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
I = 2 times 12 integral0^pi6 sin^2 theta , dtheta + 2 times 12 integralpi6^pi4 cos^2(2theta) , dtheta
Isso simplifica para:
I = integral0^pi6 sin^2 theta , dtheta + integralpi6^pi4 cos^2(2theta) , dtheta

Passo 5

Agora, vamos interpretar cada parte. A primeira integral:
integral0^pi6 sin^2 theta , dtheta
Representa a área sob a curva integralpi6^pi4 cos^2(2theta) , dtheta de a .
A segunda integral:
Representa a área sob a curva de a .

Passo 6

Para representar geometricamente a região, vamos desenhar cada uma dessas curvas no plano polar nos respectivos intervalos de :
  1. Para de a :
    • Começa no polo ( quando ).
    • Aumenta até .
  2. Para de a :
    • Calculamos nos extremos:
      • : .
      • : .
    • A curva começa em e diminui até .

Passo 7

Juntando as duas partes, teremos uma região no plano polar que começa no polo, se expande seguindo até , e depois se contrai seguindo até .

Passo 8

Para visualizar, imagine o gráfico polar onde:
  • De a , desenhamos a curva que vai de até .
  • De a , desenhamos a curva que vai de de volta para .
Isso forma uma espécie de “folha” ou setor que cobre essas duas regiões distintas.

Resposta

A região geométrica no plano polar é formada pela união das curvas de a e de a , formando uma área composta conforme a expressão dada.

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