Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que representar geometricamente uma região no plano polar cuja área é dada pela expressão:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral em coordenadas polares para encontrar áreas. Vamos precisar entender como calcular áreas em coordenadas polares e como interpretar as funções dadas dentro dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula geral para a área
é:
Onde
é a função que descreve a curva em termos de
, e
e
são os limites de integração que definem o intervalo de
sobre o qual queremos calcular a área.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão da área dada na questão:
Podemos notar que há dois integrais, cada um multiplicado por
, e todo o resultado é multiplicado por 2. Simplificando, isso significa que estamos somando as áreas dessas duas partes.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos interpretar cada parte. A primeira integral:
Representa a área sob a curva
de
a
.
A segunda integral:
Representa a área sob a curva
de
a
.
Passo 6
Para representar geometricamente a região, vamos desenhar cada uma dessas curvas no plano polar nos respectivos intervalos de
:
-
Para
de a : - Começa no polo (
quando ). - Aumenta até
.
- Começa no polo (
-
Para
de a : - Calculamos
nos extremos: -
: . -
: .
-
- A curva começa em
e diminui até .
- Calculamos
Passo 7
Juntando as duas partes, teremos uma região no plano polar que começa no polo, se expande seguindo
até
, e depois se contrai seguindo
até
.
Passo 8
Para visualizar, imagine o gráfico polar onde:
- De
a , desenhamos a curva que vai de até . - De
a , desenhamos a curva que vai de de volta para .
Isso forma uma espécie de “folha” ou setor que cobre essas duas regiões distintas.
Resposta
A região geométrica no plano polar é formada pela união das curvas
de
a
e
de
a
, formando uma área composta conforme a expressão dada.
Exercícios relacionados
Mostre que as funções
e
, em que
e
são constantes arbitrárias, são soluções para a equação diferencial
. Em seguida, verifique se a soma das duas soluções também é solução da equação diferencial.
Determine
que satisfaça as condições dadas.
.
Resolva as equações diferenciais:
Resolva as equações diferenciais: