Determine se a seguinte função é contínua. (se não, mostre o maior conjunto do domínio no qual a função será).
f(x, y) = raiz(16 - x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre verificar se a função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e quais são as condições para garantirmos essa continuidade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tiver “quebras” ou “saltos” ali. Isso significa que podemos desenhar o gráfico da função sem levantar o lápis do papel naquele ponto.

Passo 3

Agora, olhando para a nossa função , percebemos que ela envolve uma raiz quadrada. Para que a raiz quadrada seja válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de e que tornam a função válida. Reorganizando a desigualdade:
Isso representa a equação de um círculo com raio 4 e centro na origem. Portanto, a função só está definida dentro ou na borda desse círculo.

Passo 5

Como a função está definida quando , ela será contínua nesse conjunto. Fora desse conjunto, a função não está definida porque teríamos a raiz de um número negativo, o que não é permitido nos números reais.

Resposta

A função é contínua no maior conjunto do seu domínio, que é o conjunto de todos os pontos tais que .

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