Esboce o gráfico das seguintes funções: u(x, y) = x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Estamos trabalhando com cálculo multivariável, mais especificamente com superfícies no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como representar graficamente funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função quadrática em duas variáveis. Isso significa que, para cada par de valores , a função nos dá um valor de .

Passo 3

Para esboçar o gráfico, vamos reconhecer que representa uma superfície chamada paraboloide. Um paraboloide é uma forma tridimensional que se parece com um parabolo, mas esticado em todas as direções ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos entender melhor: para cada valor fixo de , a equação descreve um círculo no plano com raio . Isso significa que, conforme aumenta, os círculos ficam maiores, formando uma superfície curva para cima.

Passo 5

Agora, vamos visualizar isso no espaço tridimensional. No eixo vertical teremos o valor de , e nos eixos horizontais os valores de e . O paraboloide será simétrico em relação ao eixo e parecerá uma tigela aberta para cima.

Passo 6

Para desenhar o esboço, comece desenhando o eixo vertical e os eixos e horizontais. Depois, desenhe círculos concêntricos ao redor do eixo , aumentando de tamanho à medida que você se afasta do centro. Conecte esses círculos com uma superfície suave, formando a curva do paraboloide.

Resposta

O gráfico da função é um paraboloide simétrico em relação ao eixo , parecido com uma tigela aberta para cima, onde cada nível de corresponde a um círculo crescente no plano .

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