Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, mais especificamente com superfícies no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como representar graficamente funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa é uma função quadrática em duas variáveis. Isso significa que, para cada par de valores
, a função nos dá um valor de
.
Passo 3
Para esboçar o gráfico, vamos reconhecer que
representa uma superfície chamada paraboloide. Um paraboloide é uma forma tridimensional que se parece com um parabolo, mas esticado em todas as direções ao mesmo tempo.
Passo 4
Vamos entender melhor: para cada valor fixo de
, a equação
descreve um círculo no plano
com raio
. Isso significa que, conforme
aumenta, os círculos ficam maiores, formando uma superfície curva para cima.
Passo 5
Agora, vamos visualizar isso no espaço tridimensional. No eixo vertical teremos o valor de
, e nos eixos horizontais os valores de
e
. O paraboloide será simétrico em relação ao eixo
e parecerá uma tigela aberta para cima.
Passo 6
Para desenhar o esboço, comece desenhando o eixo
vertical e os eixos
e
horizontais. Depois, desenhe círculos concêntricos ao redor do eixo
, aumentando de tamanho à medida que você se afasta do centro. Conecte esses círculos com uma superfície suave, formando a curva do paraboloide.
Resposta
O gráfico da função
é um paraboloide simétrico em relação ao eixo
, parecido com uma tigela aberta para cima, onde cada nível de
corresponde a um círculo crescente no plano
.