integral sin (x / 3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Neste exercício, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções trigonométricas que envolvem uma transformação linear no argumento. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral. Olhando para u = x3 , vemos que o argumento da função seno é . Vamos fazer a seguinte substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial de dudx = 13 em relação a du = 13 dx , ou seja, dx = 3 , du . Derivando ambos os lados da equação em relação a , temos:
Isso significa que:
Ou, rearranjando para encontrar :

Passo 4

Substituímos integral sin (x3) dx = integral sin(u) cdot 3 , du e 3 integral sin(u) , du na integral original:
Podemos puxar o 3 para fora da integral:

Passo 5

Agora, precisamos integrar 3 integral sin(u) , du = 3 ( -cos(u) ) + C em relação a . A integral de é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo 3 ( -cos(x3) ) + C = -3 cos(x3) + C :

Resposta

A integral de -3 cos(x3) + C é:

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