Determine quais das seguintes aplicações são lineares:
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para saber se uma certa função é linear. A função em questão é
definida por
. Vamos usar conceitos de álgebra linear para verificar se essa função é realmente linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser linear. Uma função
é linear se, para quaisquer matrizes
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são satisfeitas:
-
(adição) -
(homogeneidade)
Vamos testar essas condições para a função que calcula o determinante.
Passo 3
Vamos escolher duas matrizes específicas para facilitar:
Calculando os determinantes:
Agora, vamos ver o determinante de
:
Comparando:
Até aqui, parece que a condição de adição foi satisfeita. Mas vamos testar a homogeneidade.
Escolha um escalar, digamos
:
Aqui,
é diferente de
, então a condição de homogeneidade não é satisfeita.
Resposta
Como a função
não satisfaz todas as condições de linearidade, ela não é uma aplicação linear.
Exercícios relacionados
Determine quais das seguintes aplicações são lineares:
;
Seja
uma função. Mostre que se
é linear então
.
Encontre uma transformação linear
tal que
e
.
Existe transformação linear
tal que
e
?