Determine quais das seguintes aplicações são lineares: f: M2(R) R, f(A)=det(A).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para saber se uma certa função é linear. A função em questão é definida por . Vamos usar conceitos de álgebra linear para verificar se essa função é realmente linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser linear. Uma função é linear se, para quaisquer matrizes e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
  1. (adição)
  2. (homogeneidade)
Vamos testar essas condições para a função que calcula o determinante.

Passo 3

Vamos escolher duas matrizes específicas para facilitar:
A = 1 & 0 0 & 1 e B = 0 & 1 1 & 0
Calculando os determinantes:
det(A) = (1)(1) - (0)(0) = 1
det(B) = (0)(0) - (1)(1) = -1
Agora, vamos ver o determinante de A + B = 1+0 & 0+1 0+1 & 1+0 = 1 & 1 1 & 1 :
det(A + B) = (1)(1) - (1)(1) = 0
det(A) + det(B) = 1 + (-1) = 0
Comparando:
det(A + B) = 0
kA = 2 cdot 1 & 0 0 & 1 = 2 & 0 0 & 2
Até aqui, parece que a condição de adição foi satisfeita. Mas vamos testar a homogeneidade.
Escolha um escalar, digamos det(kA) = (2)(2) - (0)(0) = 4 :
k cdot det(A) = 2 cdot 1 = 2
Aqui, é diferente de , então a condição de homogeneidade não é satisfeita.

Resposta

Como a função não satisfaz todas as condições de linearidade, ela não é uma aplicação linear.

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