Determine se os seguintes conjuntos de polinômios formam subespaços de
:
© O conjunto de todos os polinômios que se anulam em
.
© O conjunto de todos os polinômios que se anulam em
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos descobrir se o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3, que se anulam em
, forma um subespaço de
. Para isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Um subespaço vetorial é um subconjunto de um espaço vetorial que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Isso significa que:
- O vetor zero pertence ao subespaço.
- Se
e são polinômios no subespaço, então também está no subespaço. - Se
está no subespaço e é um número real, então também está no subespaço.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto de polinômios que se anulam em
:
-
Verificar o vetor zero:
O polinômio zero é. Avaliando em , temos . Então, o vetor zero está no conjunto. -
Verificar a adição:
See são polinômios que se anulam em , então: Somando-os:Portanto,também se anula em . -
Verificar a multiplicação por escalar:
Sese anula em e é um número real, então: Assim,também se anula em .
Resposta
Sim, o conjunto de todos os polinômios em
que se anulam em
forma um subespaço de
, pois satisfaz todas as propriedades necessárias de um subespaço vetorial.
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Verificar se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de
.
Seja
um homomorfismo de anéis e
, então a.r
e
para todo
.
Determine se os seguintes conjuntos de polinômios formam subespaços de
:
(d) O conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero.
(d) O conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero.