Determine se os seguintes conjuntos de polinômios formam subespaços de P3 :
© O conjunto de todos os polinômios que se anulam em x=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos descobrir se o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3, que se anulam em , forma um subespaço de . Para isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Um subespaço vetorial é um subconjunto de um espaço vetorial que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Isso significa que:
  1. O vetor zero pertence ao subespaço.
  2. Se e são polinômios no subespaço, então também está no subespaço.
  3. Se está no subespaço e é um número real, então também está no subespaço.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto de polinômios que se anulam em p(1) = 0 e q(1) = 0 :
  1. Verificar o vetor zero:
    O polinômio zero é (p + q)(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0 . Avaliando em (c cdot p)(1) = c cdot p(1) = c cdot 0 = 0 , temos . Então, o vetor zero está no conjunto.
  2. Verificar a adição:
    Se e são polinômios que se anulam em , então:
    Somando-os:
    Portanto, também se anula em .
  3. Verificar a multiplicação por escalar:
    Se se anula em e é um número real, então:
    Assim, também se anula em .

Resposta

Sim, o conjunto de todos os polinômios em que se anulam em forma um subespaço de , pois satisfaz todas as propriedades necessárias de um subespaço vetorial.

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