Seja
um homomorfismo de anéis e
, então a.r
e
para todo
.
Passo 1
Vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos um homomorfismo de anéis
e um elemento
que está no núcleo de
, ou seja,
. Precisamos mostrar que, para qualquer elemento
de
, os produtos
e
também estão no núcleo de
. Para isso, vamos usar as propriedades dos homomorfismos de anéis e as definições de núcleo.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o núcleo de
,
, é o conjunto de todos os elementos de
que são mapeados para o elemento neutro de
, ou seja:
Como
, sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Usamos a propriedade de que
é um homomorfismo de anéis, o que significa que preserva a multiplicação. Então:
Mas já sabemos que
, então:
Portanto,
.
Passo 4
De maneira semelhante, vamos calcular
:
Novamente, como
:
Assim,
.
Resposta
Concluímos que, se
, então para todo
, tanto
quanto
estão no núcleo de
, ou seja,
e
.