Seja f: A longrightarrow B um homomorfismo de anéis e a in N(f), então a.r in N(f) e r a in N(f) para todo r in A.

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos um homomorfismo de anéis e um elemento que está no núcleo de , ou seja, . Precisamos mostrar que, para qualquer elemento de , os produtos e também estão no núcleo de . Para isso, vamos usar as propriedades dos homomorfismos de anéis e as definições de núcleo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o núcleo de N(f) = x in A mid f(x) = 0B , f(a) = 0B , é o conjunto de todos os elementos de que são mapeados para o elemento neutro de , ou seja:
Como , sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular f(a cdot r) = f(a) cdot f(r) . Usamos a propriedade de que f(a cdot r) = 0B cdot f(r) = 0B é um homomorfismo de anéis, o que significa que preserva a multiplicação. Então:
Mas já sabemos que , então:
Portanto, .

Passo 4

De maneira semelhante, vamos calcular f(r cdot a) = f(r) cdot f(a) :
f(r cdot a) = f(r) cdot 0B = 0B
Novamente, como :
Assim, .

Resposta

Concluímos que, se , então para todo , tanto quanto estão no núcleo de , ou seja, e .

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