Verificar se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Estamos entrando no mundo da Álgebra Linear, mais especificamente falando sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar checar três coisas fundamentais: se o conjunto
contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a equação
:
Como a equação é verdadeira, o vetor zero está em
. Isso é importante porque todo subespaço vetorial deve conter o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos conferir se o conjunto
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, sua soma também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores em
:
A soma desses vetores é:
Precisamos verificar se
:
Como a igualdade se mantém, a soma dos vetores está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Finalmente, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor de
por um escalar
, o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
Multiplicando por
:
Precisamos verificar se
:
A igualdade é verdadeira, então
está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.