Verificar se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de R^3.
S=(x, y, z) in R^3 ; z=2 x-y ; x, y, z in R

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Estamos entrando no mundo da Álgebra Linear, mais especificamente falando sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar checar três coisas fundamentais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em 0 = 2(0) - 0 Rightarrow 0 = 0 . O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a equação :
Como a equação é verdadeira, o vetor zero está em . Isso é importante porque todo subespaço vetorial deve conter o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos conferir se o conjunto u = (x1, y1, z1) com z1 = 2x1 - y1 é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em v = (x2, y2, z2) com z2 = 2x2 - y2 , sua soma também deve estar em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) .
Vamos considerar dois vetores em z1 + z2 = (2x1 - y1) + (2x2 - y2) = 2(x1 + x2) - (y1 + y2) :
A soma desses vetores é:
Precisamos verificar se :
Como a igualdade se mantém, a soma dos vetores está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Finalmente, vamos verificar se u = (x, y, z) com z = 2x - y é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor de ku = (kx, ky, kz) por um escalar kz = k(2x - y) = 2kx - ky , o resultado também deve estar em .
Vamos pegar um vetor qualquer em :
Multiplicando por :
Precisamos verificar se :
A igualdade é verdadeira, então está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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