Resolver o seguinte sistema de equações lineares por eliminação de Gauss-Jordan

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a eliminação de Gauss-Jordan. O que isso significa? Basicamente, vamos manipular as equações para simplificar e encontrar os valores das variáveis. Aqui, temos duas equações com três incógnitas ( , e ), então esperamos expressar algumas variáveis em função de outras. Vamos precisar usar álgebra básica e entender como organizar as equações em uma matriz aumentada para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
Nossa meta é isolar uma das variáveis para facilitar a substituição. Vamos observar que a primeira equação já está resolvida para :

Passo 3

Agora que temos em termos de , podemos substituir esse valor na segunda equação para encontrar . Vamos fazer isso passo a passo:
A segunda equação é:
Substituindo por :

Passo 4

Vamos distribuir o na equação:
Agora, combine os termos semelhantes:

Passo 5

Isolando :

Passo 6

Até aqui, conseguimos expressar e em termos de . Como temos três variáveis e apenas duas equações, podemos escolher um valor livre para . Geralmente, usamos um parâmetro, digamos , para representar . Assim:
Então:

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
onde é um número real qualquer. Isso significa que há infinitas soluções, dependendo do valor escolhido para .

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Verificar se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de .
Verificar se a seguinte matriz é invertivel e, caso for, calcular a inversa.
Determine se os seguintes conjuntos de polinômios formam subespaços de :
© O conjunto de todos os polinômios que se anulam em .
Seja um homomorfismo de anéis e , então a.r e para todo .