Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de : .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de quatro vetores em e precisa descobrir se eles formam uma base desse espaço. Uma base precisa ter vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço . Como temos quatro vetores em um espaço de quatro dimensões, basta verificar se eles são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa linearmente independente. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e ver se o determinante dessa matriz é diferente de zero. Se for, os vetores são independentes.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores dados:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Mas antes, note que a última linha é toda zero, o que já indica que o determinante será zero. Isso significa que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 5
Como os vetores são linearmente dependentes, eles não formam uma base para . Isso porque uma base precisa ter vetores independentes para garantir que toda combinação linear possa gerar qualquer vetor no espaço.