Seja W o subconjunto dos vetores que satisfazem o sistema abaixo.
Obtenha o consjunto de vetores que geram o subespaço W .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço que satisfazem um sistema de três equações lineares. Nosso objetivo é encontrar um conjunto de vetores que “geram” esse subespaço . Isso significa que queremos expressar qualquer vetor em como uma combinação linear desses vetores geradores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares, matrizes e espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples. Nosso objetivo é encontrar as relações entre as variáveis e identificar quais delas são livres (podem assumir qualquer valor) e quais são dependentes.
Primeiro, vamos usar a segunda equação para eliminar x1 - 23x3 - x5 = 0 implies x1 = 23x3 + x5 das outras equações. A segunda equação é:
Agora, substituímos na primeira e terceira equações.
Passo 4
Substituindo 2(23x3 + x5) - x2 + 43x3 - x4 = 0 na primeira equação:
Vamos multiplicar a Equação 1’ por 3 para eliminar as frações:
Comparando com a Equação 3’, vemos que a Equação 3’ é a metade dessa nova equação, o que significa que as duas são dependentes. Portanto, só precisamos considerar uma delas.