Seja W o subconjunto dos vetores (x1, x2, x3, x4, x5) in R^5 que satisfazem o sistema abaixo.
r 2 x1-x2+43 x3-x4=0 x1-23 x3-x5=0 9 x1-3 x2+6 x3-3 x4-3 x5=0
Obtenha o consjunto de vetores que geram o subespaço W .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço que satisfazem um sistema de três equações lineares. Nosso objetivo é encontrar um conjunto de vetores que “geram” esse subespaço . Isso significa que queremos expressar qualquer vetor em como uma combinação linear desses vetores geradores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares, matrizes e espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
2x1 - x2 + 43x3 - x4 = 0 x1 - 23x3 - x5 = 0 9x1 - 3x2 + 6x3 - 3x4 - 3x5 = 0
Agora, vamos organizar esse sistema em forma de matriz aumentada:
2 & -1 & 43 & -1 & 0 1 & 0 & -23 & 0 & -1 9 & -3 & 6 & -3 & -3

Passo 3

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples. Nosso objetivo é encontrar as relações entre as variáveis e identificar quais delas são livres (podem assumir qualquer valor) e quais são dependentes.
Primeiro, vamos usar a segunda equação para eliminar x1 - 23x3 - x5 = 0 implies x1 = 23x3 + x5 das outras equações. A segunda equação é:
Agora, substituímos na primeira e terceira equações.

Passo 4

Substituindo 2(23x3 + x5) - x2 + 43x3 - x4 = 0 na primeira equação:
43x3 + 2x5 - x2 + 43x3 - x4 = 0 implies 83x3 - x2 - x4 + 2x5 = 0
Simplificando:
Vamos chamar essa de Equação 1’.

Passo 5

Agora, substituindo 9(23x3 + x5) - 3x2 + 6x3 - 3x4 - 3x5 = 0 na terceira equação:
6x3 + 9x5 - 3x2 + 6x3 - 3x4 - 3x5 = 0 implies 12x3 + 6x5 - 3x2 - 3x4 = 0 implies 4x3 + 2x5 - x2 - x4 = 0
Simplificando:
Chama-se essa de Equação 3’.

Passo 6

Agora, temos duas equações simplificadas:
  1. 8x3 - 3x2 - 3x4 + 6x5 = 0 (Equação 1’)
  2. (Equação 3’)
Vamos multiplicar a Equação 1’ por 3 para eliminar as frações:
Comparando com a Equação 3’, vemos que a Equação 3’ é a metade dessa nova equação, o que significa que as duas são dependentes. Portanto, só precisamos considerar uma delas.

Passo 7

Vamos reorganizar a Equação 1’ original:
83x3 - x2 - x4 + 2x5 = 0 implies x2 = 83x3 - x4 + 2x5
Agora, temos expressões para e em termos de , e . Isso indica que , e são variáveis livres.

Passo 8

Vamos resumir as expressões que encontramos:
x1 = 23x3 + x5 x2 = 83x3 - x4 + 2x5 x3 = x3 x4 = x4 x5 = x5
Podemos escrever o vetor (23x3 + x5, 83x3 - x4 + 2x5, x3, x4, x5) em termos das variáveis livres , e :

Passo 9

Agora, vamos fatorar as variáveis livres para expressar o vetor como uma combinação linear:
x3 (23, 83, 1, 0, 0) + x4 (0, -1, 0, 1, 0) + x5 (1, 2, 0, 0, 1)
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.

Resposta

O conjunto de vetores que geram o subespaço , (23,, 83,, 1,, 0,, 0,), (0,, -1,, 0,, 1,, 0,), (1,, 2,, 0,, 0,, 1,) , é dado por:

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