Mostre que os números complexos 1+2 i, 3-i geram o espaço vetorial C, sobre o corpo de escalares reais.
Podem conseiderar que já foi provado que C é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que os números complexos geram o espaço vetorial quando consideramos os escalares reais. Isso está no contexto de álgebra linear, onde trabalhamos com espaços vetoriais e conjuntos que podem gerar todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa gerar um espaço vetorial e como podemos expressar qualquer número complexo como uma combinação linear desses dois números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores gera um espaço vetorial. Em termos simples, dizemos que um conjunto de vetores gera um espaço vetorial se qualquer vetor do espaço puder ser escrito como uma combinação linear desses vetores. No nosso caso, queremos ver se qualquer número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais.

Passo 3

Vamos considerar um número complexo genérico a(1 + 2i) + b(3 - i) = x + yi , onde a cdot 1 + a cdot 2i + b cdot 3 + b cdot (-i) = (a + 3b) + (2a - b)i e (a + 3b) + (2a - b)i = x + yi são números reais. Queremos encontrar valores de e tais que:
Vamos expandir a expressão do lado esquerdo:
Então, temos:

Passo 4

Agora, para que as duas expressões sejam iguais, as partes reais e imaginárias devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
a + 3b = x 2a - b = y
Vamos resolver esse sistema para 2a - b = y implies b = 2a - y e a + 3(2a - y) = x a + 6a - 3y = x 7a = x + 3y a = x + 3y7 em termos de b = 2(x + 3y7) - y = 2x + 6y7 - y = 2x + 6y - 7y7 = 2x - y7 e .
Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Agora, substituímos de volta para encontrar :

Passo 5

Encontramos que para qualquer e reais, existem e que satisfazem a equação . Isso significa que qualquer número complexo pode ser escrito como uma combinação linear dos números e com coeficientes reais.

Resposta

Portanto, os números complexos realmente geram o espaço vetorial sobre o corpo de escalares reais, já que qualquer número complexo pode ser expresso como uma combinação linear desses dois números com coeficientes reais.

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Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^2 : (1,1),(0,0).
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b) O vetor (1,0,-2) pode ser escrito como combinação linear de u e v ? Justifique.