Mostre que os números complexos
geram o espaço vetorial
, sobre o corpo de escalares reais.
Podem conseiderar que já foi provado que
é um espaço vetorial.
Podem conseiderar que já foi provado que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que os números complexos
geram o espaço vetorial
quando consideramos os escalares reais. Isso está no contexto de álgebra linear, onde trabalhamos com espaços vetoriais e conjuntos que podem gerar todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa gerar um espaço vetorial e como podemos expressar qualquer número complexo como uma combinação linear desses dois números.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores gera um espaço vetorial. Em termos simples, dizemos que um conjunto de vetores gera um espaço vetorial se qualquer vetor do espaço puder ser escrito como uma combinação linear desses vetores. No nosso caso, queremos ver se qualquer número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais.
Passo 3
Vamos considerar um número complexo genérico
, onde
e
são números reais. Queremos encontrar valores de
e
tais que:
Vamos expandir a expressão do lado esquerdo:
Então, temos:
Passo 4
Agora, para que as duas expressões sejam iguais, as partes reais e imaginárias devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para
e
em termos de
e
.
Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Agora, substituímos
de volta para encontrar
:
Passo 5
Encontramos que para qualquer
e
reais, existem
e
que satisfazem a equação
. Isso significa que qualquer número complexo
pode ser escrito como uma combinação linear dos números
e
com coeficientes reais.
Resposta
Portanto, os números complexos
realmente geram o espaço vetorial
sobre o corpo de escalares reais, já que qualquer número complexo pode ser expresso como uma combinação linear desses dois números com coeficientes reais.
Exercícios relacionados
Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de
:
.
Sejam os vetores
e
em
. Faça o que se pede:
a) Escreva como combinação linear de
e
:
a) Escreva
Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de
:
.
Sejam os vetores
e
em
. Faça o que se pede:
b) O vetor pode ser escrito como combinação linear de
e
? Justifique.
b) O vetor