Sejam os vetores u=(2,3,-4) e v=(0,3,-3) em R^3. Faça o que se pede:
b) O vetor (1,0,-2) pode ser escrito como combinação linear de u e v ? Justifique.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: queremos saber se o vetor (1,0,-2) pode ser formado combinando os vetores u = (2,3,-4) e v = (0,3,-3) em R^3. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Uma combinação linear dos vetores u e v significa que existeem números (escalares) a e b tais que:
a cdot u + b cdot v = (1,0,-2)
Isso quer dizer que:
a cdot (2,3,-4) + b cdot (0,3,-3) = (1,0,-2)

Passo 3

Vamos escrever isso componente por componente, ou seja, igualar cada posição dos vetores:
2a + 0b = 1 (componente x) 3a + 3b = 0 (componente y) -4a -3b = -2 (componente z)

Passo 4

Primeiro, resolvemos a primeira equação para encontrar a:
2a = 1 implies a = 12

Passo 5

Agora, substituímos a = 12 na segunda equação para encontrar b:
3(12) + 3b = 0 implies 32 + 3b = 0 implies 3b = -32 implies b = -12

Passo 6

Por fim, verificamos se esses valores de a e b satisfazem a terceira equação:
-4(12) -3(-12) = -2 + 32 = -12 neq -2
Como a terceira equação não é satisfeita, isso significa que não existe combinação linear de u e v que resulta no vetor (1,0,-2).

Resposta

Não, o vetor (1,0,-2) não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores u e v.

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