Verificar quais das matrizes que são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações
c)

Passo 1

Vamos analisar a matriz para verificar se ela é ortogonal e, se for, determinar se representa uma rotação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes ortogonais e determinantes. Precisaremos calcular o produto para verificar a ortogonalidade e o determinante de para identificar se é uma rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a transposta de , que é . A transposta é obtida trocando as linhas pelas colunas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto . Se for ortogonal, esse produto deve resultar na matriz identidade .
Vamos calcular cada entrada:
Para :
Para :
Continuando desse jeito para todas as entradas, veremos que , a matriz identidade.

Passo 4

Como , concluímos que é uma matriz ortogonal. Agora, para verificar se representa uma rotação, precisamos calcular o determinante de . Se o determinante for +1, representa uma rotação; se for -1, representa uma reflexão.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de :
Calculando o determinante:
Simplificando:
No entanto, percebemos que houve um erro no cálculo. Recalculando com cuidado, encontramos que:

Resposta

A matriz é ortogonal e representa uma rotação.

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Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de E. Justiffique sua resposta. onde
é um autovalor de
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Encontre os autovalores de se
Sejam :
matrizes em . Calcule .