Verificar quais das matrizes que são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações
c)
Passo 1
Vamos analisar a matriz para verificar se ela é ortogonal e, se for, determinar se representa uma rotação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes ortogonais e determinantes. Precisaremos calcular o produto para verificar a ortogonalidade e o determinante de para identificar se é uma rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a transposta de , que é . A transposta é obtida trocando as linhas pelas colunas.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto . Se for ortogonal, esse produto deve resultar na matriz identidade .
Vamos calcular cada entrada:
Para :
Para :
Continuando desse jeito para todas as entradas, veremos que , a matriz identidade.
Passo 4
Como , concluímos que é uma matriz ortogonal. Agora, para verificar se representa uma rotação, precisamos calcular o determinante de . Se o determinante for +1, representa uma rotação; se for -1, representa uma reflexão.
Passo 5
Vamos calcular o determinante de :
Calculando o determinante:
Simplificando:
No entanto, percebemos que houve um erro no cálculo. Recalculando com cuidado, encontramos que: