Mostre que não pode ser combinação linear de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o vetor não pode ser uma combinação linear dos vetores e . Isso está ligado ao conteúdo de **combinações lineares** na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender o que é combinação linear e como verificar se um vetor pode ou não ser expresso dessa forma com os vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores e é qualquer vetor que pode ser escrito na forma: onde e são números reais (coeficientes escalares). No nosso caso, queremos encontrar se existem valores de e tais que:

Passo 3

Vamos escrever isso componente a componente. Isso significa que: Para a primeira coordenada: Para a segunda coordenada: Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 4

Vamos tentar resolver esse sistema. Uma maneira é usar o método de eliminação. Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo todos os termos por 2: Agora temos: 1. 2.

Passo 5

Vamos multiplicar a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação: Agora somamos essa equação com a primeira equação: Isso simplifica para:

Passo 6

Encontramos uma equação impossível: . Isso significa que não existe nenhum par de valores que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, o vetor **não pode** ser escrito como combinação linear dos vetores e .

Resposta

O vetor não pode ser uma combinação linear de e .

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