Mostre que (4,-2) não pode ser combinação linear de (-3,2) e (9,-6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o vetor (4, -2) não pode ser uma combinação linear dos vetores (-3, 2) e (9, -6). Isso está ligado ao conteúdo de combinações lineares na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender o que é combinação linear e como verificar se um vetor pode ou não ser expresso dessa forma com os vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores v1 e v2 é qualquer vetor que pode ser escrito na forma:
c1 cdot v1 + c2 cdot v2
onde c1 e c2 são números reais (coeficientes escalares). No nosso caso, queremos encontrar se existem valores de c1 e c2 tais que:
c1 cdot (-3, 2) + c2 cdot (9, -6) = (4, -2)

Passo 3

Vamos escrever isso componente a componente. Isso significa que:
Para a primeira coordenada:
-3c1 + 9c2 = 4
Para a segunda coordenada:
2c1 - 6c2 = -2
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 4

Vamos tentar resolver esse sistema. Uma maneira é usar o método de eliminação. Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
c1 - 3c2 = -1
Agora temos:
  1. -3c1 + 9c2 = 4
  2. c1 - 3c2 = -1

Passo 5

Vamos multiplicar a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação:
3c1 - 9c2 = -3
Agora somamos essa equação com a primeira equação:
(-3c1 + 9c2) + (3c1 - 9c2) = 4 + (-3)
Isso simplifica para:
0 = 1

Passo 6

Encontramos uma equação impossível: 0 = 1. Isso significa que não existe nenhum par de valores (c1, c2) que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, o vetor (4, -2) não pode ser escrito como combinação linear dos vetores (-3, 2) e (9, -6).

Resposta

O vetor (4, -2) não pode ser uma combinação linear de (-3, 2) e (9, -6).

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