Mostre que
não pode ser combinação linear de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o vetor
não pode ser uma combinação linear dos vetores
e
. Isso está ligado ao conteúdo de combinações lineares na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender o que é combinação linear e como verificar se um vetor pode ou não ser expresso dessa forma com os vetores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores
e
é qualquer vetor que pode ser escrito na forma:
onde
e
são números reais (coeficientes escalares). No nosso caso, queremos encontrar se existem valores de
e
tais que:
Passo 3
Vamos escrever isso componente a componente. Isso significa que:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Passo 4
Vamos tentar resolver esse sistema. Uma maneira é usar o método de eliminação. Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
Agora temos:
Passo 5
Vamos multiplicar a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação:
Agora somamos essa equação com a primeira equação:
Isso simplifica para:
Passo 6
Encontramos uma equação impossível:
. Isso significa que não existe nenhum par de valores
que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Portanto, o vetor
não pode ser escrito como combinação linear dos vetores
e
.
Resposta
O vetor
não pode ser uma combinação linear de
e
.