Identifique as seguintes curvas de segundo grau: 6 x^2-4 x y+9 y^2-4 x-32 y-6=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação de segundo grau em 6x^2 - 4xy + 9y^2 - 4x - 32y - 6 = 0 e :
O conteúdo aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das curvas de segundo grau. Para identificar que tipo de curva é essa (elipse, hipérbole, parábola, etc.), vamos precisar completar o quadrado e analisar os coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de 6x^2 - 4xy + 9y^2 = 4x + 32y + 6 e :
Isso deixa a gente com os termos quadráticos de um lado e os lineares do outro. Agora, precisamos arrumar essa equação para identificar a curva.

Passo 3

Vamos olhar para os coeficientes dos termos quadráticos: De, De, e . Uma maneira de identificar a curva é calcular o discriminante usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Como , sabemos que a curva não é uma hipérbole nem uma parábola.

Passo 4

Com e os coeficientes e ambos positivos, a equação representa uma elipse. Isso porque, nesse caso, os sinais de e são iguais e o discriminante é negativo.

Resposta

A curva dada pela equação é uma elipse.

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