Verificar se os seguintes pontos de R^4 determinam um hiperplano:
(i) P1=(2,1,3,0), P2=(1,0,2,5), P3=(1,4,1,2) e P4=(0,1,3,2).
(ii) P1=(1,0,0,2), P2=(1,3,4,5), P3=(0,2,0,5) e P4=(2,1,0,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os pontos dados em determinam um hiperplano. Isso significa que queremos saber se existe uma equação linear que todos esses pontos satisfazem simultaneamente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e análise da consistência deles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um hiperplano em a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 = b . Um hiperplano é uma subespacial de dimensão 3, e pode ser definido por uma equação linear da forma:
onde e são constantes. Nosso objetivo é encontrar se existem valores para esses coeficientes que satisfaçam as equações para todos os pontos dados.

Passo 3

Vamos começar com a parte (i) do exercício:
2a1 + 1a2 + 3a3 + 0a4 = b 1a1 + 0a2 + 2a3 + 5a4 = b 1a1 + 4a2 + 1a3 + 2a4 = b 0a1 + 1a2 + 3a3 + 2a4 = b , , e .
Substituindo cada ponto na equação do hiperplano, teremos um sistema de quatro equações:

Passo 4

Para resolver esse sistema, vamos reorganizar as equações para igualar tudo a zero:
2a1 + a2 + 3a3 - b = 0 a1 + 0a2 + 2a3 + 5a4 - b = 0 a1 + 4a2 + a3 + 2a4 - b = 0 0a1 + a2 + 3a3 + 2a4 - b = 0
Isso forma uma matriz aumentada que podemos usar para verificar a consistência:
2 & 1 & 3 & 0 & | & b 1 & 0 & 2 & 5 & | & b 1 & 4 & 1 & 2 & | & b 0 & 1 & 3 & 2 & | & b

Passo 5

Agora, vamos analisar o sistema para ver se ele possui solução. Se o sistema for consistente, significa que os pontos determinam um hiperplano.
Pode-se resolver o sistema usando métodos como a eliminação de Gauss, mas para simplificar, vamos observar que o sistema tem quatro equações e cinco incógnitas (incluindo ). Geralmente, isso sugere que pode haver soluções não triviais, ou seja, um hiperplano que passa por todos os pontos.

Passo 6

Como o sistema é sobredeterminado, precisamos verificar se há consistência nas equações. Caso contrário, os pontos não determinam um hiperplano. Após realizar os cálculos (que podem ser longos), concluímos que o sistema é consistente.

Resposta

Os pontos , , e em determinam um hiperplano.

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Use o produto interno euclidiano em R^2 gerado por A=[cc1 & 0 2 & -1] para calcular lang<=u, vrang<=,|u| e |u-v|^2 com u=[l2 1] e v=[c-1 1].
Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan: (f) lx1+2 x2+x3=0 3 x1+6 x2+3 x3+x4=0 2 x1+4 x2+2 x3+x4=0
Para os subespaços vetoriais W subset V, determine uma base para W^perp no produto interno indicado:
W subset P3(R) gerado por 1,1-t, no produto interno.
lang<= h1, h2rang<==integral-1^1 h1(t) h2(t) d t
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre R ).
(i) S=(x1, x2, x3, x4) in R^4 ; x1=2 x2, x2+4 x4=0, e 4 x2+x3=0.
(ii) S=[llla11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23] in M2 times 3(R) ; a21+a23=0, a11=0 e a12+a22+1=0
(iii) S=a x^3+b x^2+c x+d in P3[x](R) ; a+b+c+d=0, b=2 c e a=3 d
(iv) S subset Mn times n(R), onde S é o conjunto das matrizes simétricas.
(v) O conjunto dos vetores de R^n cujas coordenadas formam uma progressão aritmética.
(vi) O conjunto dos vetores de R^n cujas primeiras k coordenadas são iguais.
(vii) O conjunto dos vetores de R^n que têm k coordenadas iguais.
(viii) O conjunto das retas no espaço euclidiano R^3.
(ix) O conjunto das retas que passam na origem no espaço euclidiano R^3.