Verificar se os seguintes pontos de determinam um hiperplano:
(i) e .
(ii) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os pontos dados em determinam um hiperplano. Isso significa que queremos saber se existe uma equação linear que todos esses pontos satisfazem simultaneamente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e análise da consistência deles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um hiperplano em . Um hiperplano é uma subespacial de dimensão 3, e pode ser definido por uma equação linear da forma:
onde e são constantes. Nosso objetivo é encontrar se existem valores para esses coeficientes que satisfaçam as equações para todos os pontos dados.
Passo 3
Vamos começar com a parte (i) do exercício:
, , e .
Substituindo cada ponto na equação do hiperplano, teremos um sistema de quatro equações:
Passo 4
Para resolver esse sistema, vamos reorganizar as equações para igualar tudo a zero:
Agora, vamos analisar o sistema para ver se ele possui solução. Se o sistema for consistente, significa que os pontos determinam um hiperplano.
Pode-se resolver o sistema usando métodos como a eliminação de Gauss, mas para simplificar, vamos observar que o sistema tem quatro equações e cinco incógnitas (incluindo ). Geralmente, isso sugere que pode haver soluções não triviais, ou seja, um hiperplano que passa por todos os pontos.
Passo 6
Como o sistema é sobredeterminado, precisamos verificar se há consistência nas equações. Caso contrário, os pontos não determinam um hiperplano. Após realizar os cálculos (que podem ser longos), concluímos que o sistema é consistente.