Para os subespaços vetoriais , determine uma base para no produto interno indicado: gerado por , no produto interno.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma base para o complemento ortogonal de um subespaço dentro do espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. O subespaço é gerado pelos polinômios . Estamos trabalhando com um produto interno definido por:
Para resolver, vamos precisar entender o que é um complemento ortogonal e como encontrar uma base para ele usando esse produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o complemento ortogonal consiste em todos os polinômios em que são ortogonais a cada polinômio em com respeito ao produto interno dado. Ou seja, se está em , então:
Isso nos dá um sistema de equações para determinar os coeficientes de .
Passo 3
Vamos expressar um polinômio geral em da seguinte forma:
Agora, aplicamos as condições de ortogonalidade:
Passo 4
Vamos calcular a primeira condição:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a segunda condição:
Expandindo o produto:
Calculando cada integral separadamente:
Somando tudo:
Passo 6
Agora temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre os coeficientes .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver a equação para expressar em termos de :
Agora, temos:
Podemos escolher valores livres para e . Vamos deixar e , onde e são parâmetros livres.
Então:
Passo 8
Substituindo esses valores no polinômio :
Como estamos em , o termo não existe, então . Isso implica que e, portanto, .
Então, as relações simplificadas são:
Passo 9
Finalmente, expressamos o polinômio em termos de :
Isso mostra que qualquer polinômio em é um múltiplo escalar de .