Para os subespaços vetoriais W subset V, determine uma base para W^perp no produto interno indicado:
W subset P3(R) gerado por 1,1-t, no produto interno.
lang<= h1, h2rang<==integral-1^1 h1(t) h2(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma base para o complemento ortogonal lang<= h1, h2rang<= = integral-1^1 h1(t) h2(t) , dt de um subespaço dentro do espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. O subespaço é gerado pelos polinômios . Estamos trabalhando com um produto interno definido por:
Para resolver, vamos precisar entender o que é um complemento ortogonal e como encontrar uma base para ele usando esse produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o complemento ortogonal lang<= p, 1 rang<= = 0 e lang<= p, 1 - t rang<= = 0 consiste em todos os polinômios em que são ortogonais a cada polinômio em com respeito ao produto interno dado. Ou seja, se está em , então:
Isso nos dá um sistema de equações para determinar os coeficientes de .

Passo 3

Vamos expressar um polinômio geral p(t) = a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3 em da seguinte forma:
Agora, aplicamos as condições de ortogonalidade:

Passo 4

Vamos calcular a primeira condição:
integral-1^1 (a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3) , dt = 0
Integrando termo a termo:
a0 (2) + a1 (0) + a2 (23) + a3 (0) = 0
Simplificando:
2a0 + 23a2 = 0 Rightarrow 3a0 + a2 = 0

Passo 5

Agora, a segunda condição:
integral-1^1 (a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3)(1 - t) , dt = 0
Expandindo o produto:
integral-1^1 (a0(1 - t) + a1 t(1 - t) + a2 t^2(1 - t) + a3 t^3(1 - t)) dt = 0
Calculando cada integral separadamente:
  1. 2a0 - 23a1 + 23a2 - 25a3 = 0
Somando tudo:

Passo 6

Agora temos o sistema de equações:
3a0 + a2 = 0 2a0 - 23a1 + 23a2 - 25a3 = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre os coeficientes a2 = -3a0 .
Da primeira equação:
2a0 - 23a1 + 23(-3a0) - 25a3 = 0 2a0 - 23a1 - 2a0 - 25a3 = 0 - 23a1 - 25a3 = 0
Substituindo 23a1 + 25a3 = 0 Rightarrow a13 + a35 = 0 na segunda equação:
Simplificando:

Passo 7

Vamos resolver a equação a13 = -a35 Rightarrow a1 = -35a3 para expressar a2 = -3a0 a1 = -35a3 em termos de a0 = s a1 = -35t a2 = -3s a3 = t :
Agora, temos:
Podemos escolher valores livres para e . Vamos deixar e , onde e são parâmetros livres.
Então:

Passo 8

Substituindo esses valores no polinômio p(t) = s + (-35t) t + (-3s) t^2 + t t^3 p(t) = s - 35t^2 - 3s t^2 + t^4 :
a0 = s a1 = 0 a2 = -3s a3 = 0
Como estamos em , o termo não existe, então . Isso implica que e, portanto, .
Então, as relações simplificadas são:

Passo 9

Finalmente, expressamos o polinômio p(t) = s + 0 cdot t - 3s t^2 + 0 cdot t^3 = s (1 - 3t^2) em termos de :
Isso mostra que qualquer polinômio em é um múltiplo escalar de .

Resposta

Uma base para é o polinômio .

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