Para os subespaços vetoriais
, determine uma base para
no produto interno indicado:
gerado por
, no produto interno.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma base para o complemento ortogonal
de um subespaço
dentro do espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. O subespaço
é gerado pelos polinômios
. Estamos trabalhando com um produto interno definido por:
Para resolver, vamos precisar entender o que é um complemento ortogonal e como encontrar uma base para ele usando esse produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o complemento ortogonal
consiste em todos os polinômios em
que são ortogonais a cada polinômio em
com respeito ao produto interno dado. Ou seja, se
está em
, então:
Isso nos dá um sistema de equações para determinar os coeficientes de
.
Passo 3
Vamos expressar um polinômio geral
em
da seguinte forma:
Agora, aplicamos as condições de ortogonalidade:
Passo 4
Vamos calcular a primeira condição:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a segunda condição:
Expandindo o produto:
Calculando cada integral separadamente:
Somando tudo:
Passo 6
Agora temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre os coeficientes
.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver a equação
para expressar
em termos de
:
Agora, temos:
Podemos escolher valores livres para
e
. Vamos deixar
e
, onde
e
são parâmetros livres.
Então:
Passo 8
Substituindo esses valores no polinômio
:
Como estamos em
, o termo
não existe, então
. Isso implica que
e, portanto,
.
Então, as relações simplificadas são:
Passo 9
Finalmente, expressamos o polinômio
em termos de
:
Isso mostra que qualquer polinômio em
é um múltiplo escalar de
.
Resposta
Uma base para
é o polinômio
.