Determine quais dos seguintes conjuntos são subsespaços de R^3 :
Conjunto de todos os vetores da forma (a, b, 0 )

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. A gente precisa descobrir se o conjunto de todos os vetores da forma é um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar se esse conjunto satisfaz três condições básicas: contém o vetor zero, é fechado sob adição de vetores e é fechado sob a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em é . Se substituirmos e , temos , que pertence ao conjunto. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer desse conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto. Vamos chamar os vetores de (a1 + a2, b1 + b2, 0 + 0) = (a1 + a2, b1 + b2, 0) e . Somando os dois, temos:
Esse vetor resultante também é da forma , então a segunda condição também está ok.

Passo 4

Por último, vamos conferir se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pegar qualquer vetor do conjunto e multiplicar por um número real k cdot (a, b, 0) = (k cdot a, k cdot b, k cdot 0) = (k a, k b, 0) , o resultado também deve estar no conjunto. Tomando um vetor e multiplicando por , temos:
Esse vetor também tem a forma , então a terceira condição é atendida.

Resposta

Como o conjunto dos vetores da forma contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço de .

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