Encontre a inversa se existir.
[lll1 & 2 & 0 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você me pediu para encontrar a inversa da matriz:
1 & 2 & 0 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1
Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com matrizes quadradas (mesmo número de linhas e colunas) e queremos descobrir se essa matriz tem uma inversa. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e a matriz adjunta. Vamos por partes!

Passo 2

O primeiro passo é calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa.
Vamos chamar a matriz de A = 1 & 2 & 0 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1 :
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Onde:
a = 1, , b = 2, , c = 0 d = 2, , e = 1, , f = 2 g = 0, , h = 2, , i = 1
Aplicando os valores da nossa matriz:
det(A) = 1(1 cdot 1 - 2 cdot 2) - 2(2 cdot 1 - 2 cdot 0) + 0(2 cdot 2 - 1 cdot 0)
Então:
1(1 - 4) = 1(-3) = -3 -2(2 - 0) = -2(2) = -4 0(4 - 0) = 0
Vamos calcular cada parte:
det(A) = -3 - 4 + 0 = -7
Somando tudo:

Passo 3

Como o determinante é (diferente de zero), sabemos que a matriz tem inversa. Agora, vamos encontrar essa inversa. Para isso, vamos calcular a matriz adjunta (ou adjugate) e depois dividir cada elemento dessa adjunta pelo determinante.

Passo 4

A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Primeiro, vamos calcular a matriz de cofatores. Cada elemento da matriz de cofatores é calculado como C11 = (-1)^1+1 cdot det1 & 2 2 & 1 = 1(1 cdot 1 - 2 cdot 2) = 1(-3) = -3 vezes o determinante do menor correspondente.
Vamos calcular cada cofator:
C12 = (-1)^1+2 cdot det2 & 2 0 & 1 = -1(2 cdot 1 - 2 cdot 0) = -1(2) = -2
C13 = (-1)^1+3 cdot det2 & 1 0 & 2 = 1(2 cdot 2 - 1 cdot 0) = 1(4) = 4
C21 = (-1)^2+1 cdot det2 & 0 2 & 1 = -1(2 cdot 1 - 0 cdot 2) = -1(2) = -2
C22 = (-1)^2+2 cdot det1 & 0 0 & 1 = 1(1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 1(1) = 1
C23 = (-1)^2+3 cdot det1 & 2 0 & 2 = -1(1 cdot 2 - 2 cdot 0) = -1(2) = -2
C31 = (-1)^3+1 cdot det2 & 0 1 & 2 = 1(2 cdot 2 - 0 cdot 1) = 1(4) = 4
C32 = (-1)^3+2 cdot det1 & 0 2 & 2 = -1(1 cdot 2 - 0 cdot 2) = -1(2) = -2
C33 = (-1)^3+3 cdot det1 & 2 2 & 1 = 1(1 cdot 1 - 2 cdot 2) = 1(-3) = -3

Passo 5

Agora, organizamos os cofatores na matriz de cofatores:
Matriz de Cofatores = -3 & -2 & 4 -2 & 1 & -2 4 & -2 & -3
Em seguida, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjunta:
Adjunta(A) = -3 & -2 & 4 -2 & 1 & -2 4 & -2 & -3 ^T = -3 & -2 & 4 -2 & 1 & -2 4 & -2 & -3
No caso dessa matriz específica, a adjunta é igual à matriz de cofatores porque ela é simétrica.

Passo 6

Finalmente, para encontrar a inversa de A^-1 = 1-7 cdot -3 & -2 & 4 -2 & 1 & -2 4 & -2 & -3 = 37 & 27 & -47 27 & -17 & 27 -47 & 27 & 37 , dividimos cada elemento da adjunta pelo determinante :

Resposta

A inversa da matriz dada é:
A^-1 = 37 & 27 & -47 27 & -17 & 27 -47 & 27 & 37

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