Determine as seguintes derivadas: f'(x), em que f(x) = (4/3) * raiz4((x - 1) / (x + 2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a derivada de funções racionais. Vamos precisar aplicar essas regras passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de derivar. A raiz quarta pode ser escrita como uma potência de . Então, temos:
Aqui, identificamos que a função é uma constante multiplicada por uma função composta. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de vai ser a derivada da constante multiplicada pela derivada da parte composta:
Simplificando os coeficientes:

Passo 4

Agora, vamos derivar a fração . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz:
Aqui, e . Derivando e :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Agora que temos a derivada da fração, substituímos de volta na expressão de :
Podemos simplificar os coeficientes:

Resposta

A derivada de é:

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