Passo 1
Ok, vamos resolver o limite
. Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no estudo de limites. Para resolver, vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas das funções exponencial e seno quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador
. Sabemos que para valores muito pequenos de
, a função exponencial pode ser aproximada pela série de Taylor:
onde
é uma constante. No nosso caso,
, então:
Subtraindo 1, temos:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
. Para valores pequenos de
, o seno também pode ser aproximado pela própria entrada:
onde
é uma constante. Aqui,
, então:
Passo 4
Com essas aproximações, podemos reescrever o limite original substituindo as expressões:
Passo 5
Simplificando a fração
, o
no numerador e no denominador se cancelam:
Como não há mais
na expressão, o limite é simplesmente
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração, e suas velocidades e posições iniciais:
Determine as seguintes derivadas:
, em que
Determine as seguintes derivadas:
, em que