Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração, e suas velocidades e posições iniciais:
a(t) = 2t i + sen(t) j + cos(2t) k, v(0) = i, r(0) = j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o vetor posição de uma partícula, ou seja, a posição dela em função do tempo. Para isso, nos dão a aceleração da partícula e as condições iniciais de velocidade e posição. Vamos precisar entender como integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição. Vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados ao movimento vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração dada é:

Passo 3

Vamos integrar cada componente da aceleração separadamente:
Para a componente i:
Para a componente j:
Para a componente k:
Aqui, são constantes de integração que vamos determinar usando a condição inicial da velocidade.

Passo 4

A velocidade inicial é dada por . Isso significa que, quando :
Para a componente i:
Para a componente j:
Para a componente k:

Passo 5

Agora podemos escrever a velocidade em função do tempo:

Passo 6

Agora, para encontrar a posição, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Para a componente i:
Para a componente j:
Para a componente k:
Onde são constantes de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.

Passo 7

A posição inicial é dada por . Isso significa que, quando :
Para a componente i:
Para a componente j:
Para a componente k:

Passo 8

Agora podemos escrever a posição em função do tempo:

Resposta

O vetor posição da partícula em função do tempo é:

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