Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração, e suas velocidades e posições iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o vetor posição de uma partícula, ou seja, a posição dela em função do tempo. Para isso, nos dão a aceleração da partícula e as condições iniciais de velocidade e posição. Vamos precisar entender como integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição. Vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados ao movimento vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração dada é:
Passo 3
Vamos integrar cada componente da aceleração separadamente:
Para a componente i:
Para a componente j:
Para a componente k:
Aqui,
são constantes de integração que vamos determinar usando a condição inicial da velocidade.
Passo 4
A velocidade inicial é dada por
. Isso significa que, quando
:
Para a componente i:
Para a componente j:
Para a componente k:
Passo 5
Agora podemos escrever a velocidade em função do tempo:
Passo 6
Agora, para encontrar a posição, vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Para a componente i:
Para a componente j:
Para a componente k:
Onde
são constantes de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.
Passo 7
A posição inicial é dada por
. Isso significa que, quando
:
Para a componente i:
Para a componente j:
Para a componente k:
Passo 8
Agora podemos escrever a posição em função do tempo:
Resposta
O vetor posição da partícula em função do tempo é:
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Determine as seguintes derivadas:
, em que