Determine a solução dos seguintes PVI:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial:
E a condição inicial é
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas para achar a solução. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar se ela é exata. Multiplicando ambos os lados por
, fica:
Assim, podemos escrever na forma
, onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar
. Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
Então, a solução geral é:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá três soluções:
Todas elas satisfazem a condição inicial
.
Resposta
As soluções do PVI são: