Determine a solução dos seguintes PVI:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial:
E a condição inicial é . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas para achar a solução. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar se ela é exata. Multiplicando ambos os lados por , fica:
Assim, podemos escrever na forma , onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Vamos encontrar . Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Aplicando a condição inicial :
Então, a solução geral é:
Podemos fatorar :
Isso nos dá três soluções:
Todas elas satisfazem a condição inicial .

Resposta

As soluções do PVI são:

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações lineares:
(b)
Resolver as seguintes equações lineares:
(a)
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(f)
A função possui alguma raiz real?