Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial
é homogênea. Se for, a gente também precisa encontrar a solução dessa equação.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea. Basicamente, uma equação diferencial é chamada de homogênea se ela pode ser escrita de forma que todos os termos tenham o mesmo grau quando expressos em termos de
. Isso facilita a resolução usando substituições que simplificam a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Para isso, identificamos que
é uma substituição comum em equações homogêneas. Vamos chamar
. Assim,
.
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
. Usando a regra do produto, temos:
Substituindo isso na equação original:
Passo 4
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Agora, vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
Passo 5
Integrando os dois lados:
As integrais ficam:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
de volta na equação:
Podemos reescrever isso para deixar a solução mais clara:
Onde
é apenas uma nova constante.
Resposta
A equação diferencial
é homogênea, e sua solução geral é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine a solução dos seguintes PVI:
(f)
(f)
Encontre uma solução particular para as equações:
.
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(b)
(b)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,