Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial é homogênea. Se for, a gente também precisa encontrar a solução dessa equação.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea. Basicamente, uma equação diferencial é chamada de homogênea se ela pode ser escrita de forma que todos os termos tenham o mesmo grau quando expressos em termos de . Isso facilita a resolução usando substituições que simplificam a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Para isso, identificamos que é uma substituição comum em equações homogêneas. Vamos chamar . Assim, .

Passo 3

Agora, precisamos derivar em relação a . Usando a regra do produto, temos:
Substituindo isso na equação original:

Passo 4

Podemos simplificar cancelando dos dois lados:
Agora, vamos separar as variáveis para facilitar a integração:

Passo 5

Integrando os dois lados:
As integrais ficam:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
Podemos reescrever isso para deixar a solução mais clara:
Onde é apenas uma nova constante.

Resposta

A equação diferencial é homogênea, e sua solução geral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine a solução dos seguintes PVI:
(f)
Encontre uma solução particular para as equações:
.
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(b)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,