Sendo o espaço vetorial das matrizes , verificar se é LI ou LD , sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se o conjunto de matrizes é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD) no espaço vetorial das matrizes . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores (ou matrizes) ser linearmente independente. Em termos simples, o conjunto é LI se a única combinação linear que resulta na matriz zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a equação
tiver apenas a solução , então o conjunto é linearmente independente. Se existir alguma outra solução, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Vamos montar essa combinação linear com as matrizes dadas:
Passo 4
Agora, vamos expandir essa equação matriz por matriz, elemento por elemento:
Para a posição (1,1):
Para a posição (1,2):
Para a posição (1,3):
Para a posição (2,1):
Para a posição (2,2):
Para a posição (2,3):
Passo 5
Agora, temos um sistema de 6 equações com 3 incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b e c.
Passo 6
Observando as equações 2 e 5:
2a - b = 0 (Equação 2) çã
-2a + b = 0 (Equação 5) çã
Somando as duas equações:
(2a - b) + (-2a + b) = 0 + 0 Rightarrow 0 = 0
Isso não nos dá informação adicional, então vamos usar a Equação 2 para expressar b em termos de a:
b = 2a
Passo 7
Agora, usando a Equação 1:
-a - c = 0 Rightarrow c = -a
Temos agora:
b = 2a c = -a
Passo 8
Vamos substituir b e c nas outras equações para verificar a consistência.
Usando a Equação 3:
a + 2b + 5c = 0 a + 2(2a) + 5(-a) = 0 a + 4a -5a = 0 0 = 0