Sendo V o espaço vetorial das matrizes 2 times 3, verificar se A, B, C é LI ou LD , sendo
A=[ccc -1 & 2 & 1 3 & -2 & 4 ], B=[ccc 0 & -1 & 2 -2 & 1 & 0 ], C=[ccc -1 & 0 & 5 -1 & 0 & 3 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se o conjunto de matrizes A, B, C é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD) no espaço vetorial V das matrizes 2 times 3. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores (ou matrizes) ser linearmente independente. Em termos simples, o conjunto A, B, C é LI se a única combinação linear que resulta na matriz zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a equação
aA + bB + cC = 0
tiver apenas a solução a = b = c = 0, então o conjunto é linearmente independente. Se existir alguma outra solução, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos montar essa combinação linear com as matrizes dadas:
a[ccc -1 & 2 & 1 3 & -2 & 4 ] + b[ccc 0 & -1 & 2 -2 & 1 & 0 ] + c[ccc -1 & 0 & 5 -1 & 0 & 3 ] = [ccc 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ]

Passo 4

Agora, vamos expandir essa equação matriz por matriz, elemento por elemento:
Para a posição (1,1):
-1a + 0b -1c = 0 Rightarrow -a - c = 0
Para a posição (1,2):
2a -1b + 0c = 0 Rightarrow 2a - b = 0
Para a posição (1,3):
1a + 2b +5c = 0 Rightarrow a + 2b + 5c = 0
Para a posição (2,1):
3a -2b -1c = 0 Rightarrow 3a - 2b - c = 0
Para a posição (2,2):
-2a +1b +0c = 0 Rightarrow -2a + b = 0
Para a posição (2,3):
4a + 0b +3c = 0 Rightarrow 4a + 3c = 0

Passo 5

Agora, temos um sistema de 6 equações com 3 incógnitas:
-a - c = 0 2a - b = 0 a + 2b + 5c = 0 3a - 2b - c = 0 -2a + b = 0 4a + 3c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b e c.

Passo 6

Observando as equações 2 e 5:
2a - b = 0 (Equação 2) çã
-2a + b = 0 (Equação 5) çã
Somando as duas equações:
(2a - b) + (-2a + b) = 0 + 0 Rightarrow 0 = 0
Isso não nos dá informação adicional, então vamos usar a Equação 2 para expressar b em termos de a:
b = 2a

Passo 7

Agora, usando a Equação 1:
-a - c = 0 Rightarrow c = -a
Temos agora:
b = 2a c = -a

Passo 8

Vamos substituir b e c nas outras equações para verificar a consistência.
Usando a Equação 3:
a + 2b + 5c = 0 a + 2(2a) + 5(-a) = 0 a + 4a -5a = 0 0 = 0
Usando a Equação 4:
3a - 2b - c = 0 3a - 2(2a) - (-a) = 0 3a -4a + a = 0 0 = 0
Usando a Equação 6:
4a + 3c = 0 4a + 3(-a) = 0 4a -3a = 0 a = 0

Passo 9

Encontramos que a = 0. Então, usando as relações anteriores:
b = 2a = 2(0) = 0 c = -a = -0 = 0

Resposta

O conjunto A, B, C é linearmente independente (LI), já que a única solução para a combinação linear igual a zero é a = b = c = 0.

Exercícios relacionados