Determine se as seguintes funções são contínuas: g: R -> R, dada por g(x) = { sen(3x) / (3x) , se x ≠ 0; 1 , se x = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema. A gente quer saber se a função , definida por
é contínua em todos os pontos. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade e verificar onde a função pode ter algum “pulo” ou descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando x se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para todo no domínio da função,
A gente precisa verificar isso para todos os pontos onde a função está definida. No nosso caso, a função está definida para todo número real, mas ela é dada de forma diferente quando . Então, vamos olhar os pontos onde e depois o ponto .

Passo 3

Para todos os , a função é composta por funções contínuas (seno, multiplicação e divisão, desde que o denominador não seja zero). Como para , o denominador nunca é zero, a função é contínua em todos esses pontos.

Passo 4

Agora, o ponto que pode dar problema é , porque aqui a definição da função muda. Vamos verificar a continuidade nesse ponto:
  1. Valor da função em :
  2. Limite de quando se aproxima de 0:
    Sabemos que . Aqui, podemos fazer a substituição , então quando , . Então:

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de 0 é igual ao valor de (ambos são 1), a função é contínua em todo o conjunto dos números reais .

Exercícios relacionados

Mostre que
integral0^1 integral0^1 integral0^1 11-x y z d x d y d z=sumn=1^infty 1n^3
(Ninguém jamais foi capaz de determinar o valor exato da soma dessa série.)
Mostre que Lf(t)t=integrals^+infty F(u) d u e calcule as transformadas de Laplace. Lcos (a t)-1t, a in R
Mostre que Lf(t)t=integrals^+infty F(u) d u e calcule as transformadas de Laplace. Le^a t-e^-a tt, a in R
Seja a in R e considere a função f: R -> R dada por
f(x) = { cos(x) + 1, se x < 2pi; a x² + 2pi, se x ≥ 2pi }
Determine o valor de a para que f seja contínua em 2 pi.