Determine se as seguintes funções são contínuas:
, dada por
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema. A gente quer saber se a função
, definida por
é contínua em todos os pontos. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade e verificar onde a função pode ter algum “pulo” ou descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando x se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para todo
no domínio da função,
A gente precisa verificar isso para todos os pontos onde a função está definida. No nosso caso, a função está definida para todo número real, mas ela é dada de forma diferente quando
. Então, vamos olhar os pontos onde
e depois o ponto
.
Passo 3
Para todos os
, a função
é composta por funções contínuas (seno, multiplicação e divisão, desde que o denominador não seja zero). Como para
, o denominador
nunca é zero, a função é contínua em todos esses pontos.
Passo 4
Agora, o ponto que pode dar problema é
, porque aqui a definição da função muda. Vamos verificar a continuidade nesse ponto:
-
Valor da função em
: -
Limite de
quando se aproxima de 0: Sabemos que. Aqui, podemos fazer a substituição , então quando , . Então:
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual ao valor de
(ambos são 1), a função
é contínua em todo o conjunto dos números reais
.
Exercícios relacionados
Mostre que
(Ninguém jamais foi capaz de determinar o valor exato da soma dessa série.)
Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.
Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.
Seja
e considere a função
dada por
Determine o valor de
para que
seja contínua em
.