Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a Transformada de Laplace de
é igual à integral de
de
até o infinito, onde
é a Transformada de Laplace de
. Além disso, temos que calcular a Transformada de Laplace de
, onde
é um número real. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades das Transformadas de Laplace e como manipular integrais e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Onde
é uma variável complexa. Agora, queremos encontrar
. Para isso, vamos fazer uma substituição na definição da Transformada de Laplace.
Passo 3
Substituindo
na definição da Transformada de Laplace, temos:
Agora, observe que podemos reescrever isso como uma integral dupla:
Aqui, usamos a propriedade de que
para
.
Passo 4
Agora, podemos trocar a ordem das integrais (isso é permitido sob certas condições de convergência):
Onde
.
Passo 5
Portanto, mostramos que:
Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace de
.
Passo 6
Primeiro, identifiquemos a função
. A Transformada de Laplace de
é:
Passo 7
Agora, aplicando a fórmula que mostramos anteriormente:
Passo 8
Vamos calcular essa integral:
Ao calcular o limite quando
tende ao infinito, as diferenças das funções logarítmicas tendem a zero. Então, sobra:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes funções são contínuas:
, dada por
Mostre que
(Ninguém jamais foi capaz de determinar o valor exato da soma dessa série.)
Seja
e considere a função
dada por
Determine o valor de
para que
seja contínua em
.
use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em