Mostre que Lf(t)t=integrals^+infty F(u) d u e calcule as transformadas de Laplace. Le^a t-e^-a tt, a in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a Transformada de Laplace de é igual à integral de de até o infinito, onde é a Transformada de Laplace de . Além disso, temos que calcular a Transformada de Laplace de , onde é um número real. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades das Transformadas de Laplace e como manipular integrais e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^+infty e^-st f(t) , dt é definida por:
Onde é uma variável complexa. Agora, queremos encontrar . Para isso, vamos fazer uma substituição na definição da Transformada de Laplace.

Passo 3

Substituindo Lf(t)t = integral0^+infty e^-st f(t)t , dt na definição da Transformada de Laplace, temos:
integral0^+infty e^-st f(t)t , dt = integral0^+infty ( integrals^+infty e^-ut , du ) f(t) , dt
Agora, observe que podemos reescrever isso como uma integral dupla:
Aqui, usamos a propriedade de que para .

Passo 4

Agora, podemos trocar a ordem das integrais (isso é permitido sob certas condições de convergência):
integrals^+infty ( integral0^+infty e^-ut f(t) , dt ) du = integrals^+infty F(u) , du
Onde .

Passo 5

Portanto, mostramos que:
Lf(t)t = integrals^+infty F(u) , du
Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace de .

Passo 6

Primeiro, identifiquemos a função F(u) = Le^a t - Le^-a t = 1u - a - 1u + a . A Transformada de Laplace de é:

Passo 7

Agora, aplicando a fórmula que mostramos anteriormente:
Le^a t - e^-a tt = integrals^+infty ( 1u - a - 1u + a ) du

Passo 8

Vamos calcular essa integral:
integrals^+infty ( 1u - a - 1u + a ) du = limb to +infty [ ln|u - a| - ln|u + a| ]s^b
Ao calcular o limite quando - ln(s - as + a) = ln(s + as - a) tende ao infinito, as diferenças das funções logarítmicas tendem a zero. Então, sobra:

Resposta

Le^a t - e^-a tt = ln(s + as - a)

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