Seja a in R e considere a função f: R -> R dada por
f(x) = { cos(x) + 1, se x < 2pi; a x² + 2pi, se x ≥ 2pi }
Determine o valor de a para que f seja contínua em 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve a continuidade de uma função em um ponto específico. A função é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de . A nossa missão aqui é encontrar o valor de que faz com que seja contínua em . Para isso, vamos usar os conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função em . Ou seja:
Aqui, queremos que a função seja contínua em . Então, precisamos garantir que o limite de quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ) sejam iguais e também iguais ao valor de .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de pela esquerda, ou seja, . Nessa região, a função é definida como . Então:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de pela direita, ou seja, . Nessa região, a função é definida como . Então:
Como estamos calculando o limite em , substituímos por :

Passo 5

Para a função ser contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais, e também devem ser iguais ao valor da função em . Primeiro, vamos igualar os limites:
Agora, vamos resolver para :
Podemos simplificar mais dividindo o numerador e o denominador por 2:

Resposta

O valor de que torna contínua em é:

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