Seja
e considere a função
dada por
Determine o valor de
para que
seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve a continuidade de uma função em um ponto específico. A função
é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de
. A nossa missão aqui é encontrar o valor de
que faz com que
seja contínua em
. Para isso, vamos usar os conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
. Ou seja:
Aqui, queremos que a função seja contínua em
. Então, precisamos garantir que o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda (
) e pela direita (
) sejam iguais e também iguais ao valor de
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda, ou seja,
. Nessa região, a função é definida como
. Então:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela direita, ou seja,
. Nessa região, a função é definida como
. Então:
Como estamos calculando o limite em
, substituímos
por
:
Passo 5
Para a função ser contínua em
, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais, e também devem ser iguais ao valor da função em
. Primeiro, vamos igualar os limites:
Agora, vamos resolver para
:
Podemos simplificar mais dividindo o numerador e o denominador por 2:
Resposta
O valor de
que torna
contínua em
é:
Exercícios relacionados
Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.
Determine se as seguintes funções são contínuas:
, dada por
use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Um sólido
está contido no cilindro
, abaixo do plano
e acima do paraboloide
. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de
.