Determine se as seguintes funções são contínuas: h: R \ {0} -> R, dada por h(x) = { sen(x), se x < 0; cos(x), se x > 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada que está definida para todos os números reais, exceto para . Essa função usa o seno quando é menor que 0 e o cosseno quando é maior que 0. Nosso objetivo é descobrir se essa função é contínua em todo o seu domínio. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar isso em cada parte da função.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para quando . Nesse caso, a função é . Você sabia que a função seno é contínua em todo lugar? Isso significa que, para qualquer valor de que seja menor que 0, não tem nenhum “pulo” ou “buraco” na curva. Então, nessa parte, a função está tranquila, sem interrupções.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando . Aqui, a função é . Assim como o seno, o cosseno também é uma função contínua em todos os números reais. Ou seja, para qualquer maior que 0, a função também não tem nenhum problema de continuidade. Está tudo suave nessa parte.

Passo 4

Apesar de termos analisado os dois lados separados, é importante verificar se a função se comporta bem perto de , mesmo que 0 não esteja no domínio. Vamos ver os limites quando se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita:
  • Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ), e sabemos que .
  • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ), e .
Os limites são diferentes, mas como não está na função, isso não afeta a continuidade da função no seu domínio.

Passo 5

Resumindo tudo isso, vimos que em cada parte do domínio da função , ela é contínua porque tanto o seno quanto o cosseno são funções contínuas. E mesmo perto de , onde os limites não coincidem, como 0 não está incluído na função, isso não nos prejudica.

Resposta

A função é contínua para todo no seu domínio, ou seja, para todo em .

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