Determine se as seguintes funções são contínuas:
, dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada
que está definida para todos os números reais, exceto para
. Essa função usa o seno quando
é menor que 0 e o cosseno quando
é maior que 0. Nosso objetivo é descobrir se essa função é contínua em todo o seu domínio. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar isso em cada parte da função.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para quando
. Nesse caso, a função é
. Você sabia que a função seno é contínua em todo lugar? Isso significa que, para qualquer valor de
que seja menor que 0, não tem nenhum “pulo” ou “buraco” na curva. Então, nessa parte, a função
está tranquila, sem interrupções.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando
. Aqui, a função é
. Assim como o seno, o cosseno também é uma função contínua em todos os números reais. Ou seja, para qualquer
maior que 0, a função
também não tem nenhum problema de continuidade. Está tudo suave nessa parte.
Passo 4
Apesar de termos analisado os dois lados separados, é importante verificar se a função se comporta bem perto de
, mesmo que 0 não esteja no domínio. Vamos ver os limites quando
se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita:
- Quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ), e sabemos que . - Quando
se aproxima de 0 pela direita ( ), e .
Os limites são diferentes, mas como
não está na função, isso não afeta a continuidade da função no seu domínio.
Passo 5
Resumindo tudo isso, vimos que em cada parte do domínio da função
, ela é contínua porque tanto o seno quanto o cosseno são funções contínuas. E mesmo perto de
, onde os limites não coincidem, como 0 não está incluído na função, isso não nos prejudica.
Resposta
A função
é contínua para todo
no seu domínio, ou seja, para todo
em
.