use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
Vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e suas propriedades para transformar a equação diferencial no domínio da frequência, resolver algébricamente e, por fim, aplicar a Transformada Inversa para achar a solução no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial. Lembrando que:
E:
E também sabemos que:
Aplicando a transformada:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Fatorando
:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Vamos separar os termos para facilitar a Transformada Inversa:
Conhecendo as transformadas inversas:
Aplicando essas inversas:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Resposta
A solução da equação diferencial é: