use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+infinito) y'' + y = cos(t), y(0) = 0, y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
Vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e suas propriedades para transformar a equação diferencial no domínio da frequência, resolver algébricamente e, por fim, aplicar a Transformada Inversa para achar a solução no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial. Lembrando que:
E:
E também sabemos que:
Aplicando a transformada:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Fatorando :
Simplificando o lado direito:

Passo 4

Vamos separar os termos para facilitar a Transformada Inversa:
Conhecendo as transformadas inversas:
Aplicando essas inversas:

Passo 5

Simplificando a expressão:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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