Mostre que
integral0^1 integral0^1 integral0^1 11+x y z d x d y d z=sumn=1^infty (-1)^n-1n^3
Use essa equação para calcular a integral tripla com precisão de duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma integral tripla é igual a uma soma infinita específica e, depois, usar essa relação para calcular o valor da integral com precisão de duas casas decimais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e séries infinitas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral tripla:
integral0^1 integral0^1 integral0^1 11+x y z , dx , dy , dz
Queremos expressar essa função de uma maneira que facilite a integração. Uma boa dica é usar a expansão em série de uma função racional.

Passo 3

Sabemos que, para 11 + w = sumn=0^infty (-1)^n w^n , a fração pode ser expandida como uma série geométrica:
Aqui, , e como , , estão entre 0 e 1, também estará entre 0 e 1. Então, podemos usar essa expansão para a nossa função.

Passo 4

Substituindo 11 + xyz = sumn=0^infty (-1)^n (xyz)^n por integral0^1 integral0^1 integral0^1 sumn=0^infty (-1)^n (xyz)^n , dx , dy , dz na série, temos:
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Podemos trocar a integral pela soma (isso é permitido se a série converge uniformemente, o que acontece aqui). Então, temos:
sumn=0^infty (-1)^n integral0^1 integral0^1 integral0^1 (xyz)^n , dx , dy , dz
Agora, vamos resolver a integral interna.

Passo 6

A integral de integral0^1 x^n , dx times integral0^1 y^n , dy times integral0^1 z^n , dz em relação a integral0^1 t^n , dt = 1n+1 , (1n+1) times (1n+1) times (1n+1) = 1(n+1)^3 e separadamente é:
Cada uma dessas integrais é uma forma padrão:
Então, o resultado da integral tripla é:

Passo 7

Substituindo de volta na soma, temos:
sumn=0^infty (-1)^n 1(n+1)^3
Vamos mudar o índice da soma para facilitar. Se substituirmos summ=1^infty (-1)^m-1m^3 por , então quando começa em 0, começa em 1. A soma fica:
O que confirma a igualdade que o exercício nos pede para mostrar.

Passo 8

Agora que mostramos que a integral tripla é igual a essa soma infinita, vamos calcular o valor dela com precisão de duas casas decimais. A soma é conhecida como a função eta de Dirichlet para summ=1^infty (-1)^m-1m^3 = eta(3) = 34 zeta(3) , que está relacionada à função zeta de Riemann.
Sabemos que:
Onde é aproximadamente 1.2020569.

Passo 9

Calculando:
eta(3) = 34 times 1.2020569 approx 0.9015427
Arredondando para duas casas decimais, temos 0.90.

Resposta

A integral tripla vale aproximadamente .

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