Mostre que
Use essa equação para calcular a integral tripla com precisão de duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma integral tripla é igual a uma soma infinita específica e, depois, usar essa relação para calcular o valor da integral com precisão de duas casas decimais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e séries infinitas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral tripla:
Queremos expressar essa função
de uma maneira que facilite a integração. Uma boa dica é usar a expansão em série de uma função racional.
Passo 3
Sabemos que, para
, a fração
pode ser expandida como uma série geométrica:
Aqui,
, e como
,
,
estão entre 0 e 1,
também estará entre 0 e 1. Então, podemos usar essa expansão para a nossa função.
Passo 4
Substituindo
por
na série, temos:
Agora, nossa integral fica:
Passo 5
Podemos trocar a integral pela soma (isso é permitido se a série converge uniformemente, o que acontece aqui). Então, temos:
Agora, vamos resolver a integral interna.
Passo 6
A integral de
em relação a
,
e
separadamente é:
Cada uma dessas integrais é uma forma padrão:
Então, o resultado da integral tripla é:
Passo 7
Substituindo de volta na soma, temos:
Vamos mudar o índice da soma para facilitar. Se substituirmos
por
, então quando
começa em 0,
começa em 1. A soma fica:
O que confirma a igualdade que o exercício nos pede para mostrar.
Passo 8
Agora que mostramos que a integral tripla é igual a essa soma infinita, vamos calcular o valor dela com precisão de duas casas decimais. A soma é conhecida como a função eta de Dirichlet para
, que está relacionada à função zeta de Riemann.
Sabemos que:
Onde
é aproximadamente 1.2020569.
Passo 9
Calculando:
Arredondando para duas casas decimais, temos 0.90.
Resposta
A integral tripla vale aproximadamente
.