Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função e descobrir se ela é crescente, decrescente, não-crescente ou não decrescente em todo o conjunto dos números reais ( ). Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, nos mostra se a função está subindo ou descendo naquele ponto. A derivada de é:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos analisar os sinais dela para entender o comportamento da função:
  • Quando , a função está crescendo.
  • Quando , a função está decrescendo.
  • Quando , a função tem um ponto de máximo ou mínimo.

Passo 4

Vamos resolver a inequação :
Isso significa que para valores de menores que zero, a derivada é positiva e, portanto, a função está crescendo.

Passo 5

Agora, resolvemos a inequação :
Então, para valores de maiores que zero, a derivada é negativa e a função está decrescendo.

Passo 6

Além disso, quando , a derivada é zero ( ), indicando que a função atinge o ponto mais alto, ou seja, possui um máximo em .

Resposta

A função é crescente para todos os valores de menores que zero e decrescente para todos os valores de maiores que zero. Em outras palavras:
  • Crescente quando
  • Decrescente quando

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em ;
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