Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
e descobrir se ela é crescente, decrescente, não-crescente ou não decrescente em todo o conjunto dos números reais (
). Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, nos mostra se a função está subindo ou descendo naquele ponto. A derivada de
é:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos analisar os sinais dela para entender o comportamento da função:
- Quando
, a função está crescendo. - Quando
, a função está decrescendo. - Quando
, a função tem um ponto de máximo ou mínimo.
Passo 4
Vamos resolver a inequação
:
Isso significa que para valores de
menores que zero, a derivada é positiva e, portanto, a função está crescendo.
Passo 5
Agora, resolvemos a inequação
:
Então, para valores de
maiores que zero, a derivada é negativa e a função está decrescendo.
Passo 6
Além disso, quando
, a derivada é zero (
), indicando que a função atinge o ponto mais alto, ou seja, possui um máximo em
.
Resposta
A função
é crescente para todos os valores de
menores que zero e decrescente para todos os valores de
maiores que zero. Em outras palavras:
- Crescente quando
- Decrescente quando
Exercícios relacionados
Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo
.
Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo
.
Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
em
;
Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
em
: