Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que para todo
, a desigualdade
é verdadeira. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, que faz parte do cálculo diferencial. Esse teorema nos ajuda a relacionar a derivada de uma função em um intervalo com a variação da função nesse intervalo. Vamos precisar entender como a derivada da função cosseno se comporta e aplicar o teorema para provar a desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função
é contínua no intervalo
e diferenciável no intervalo
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Isso basicamente quer dizer que há um ponto onde a inclinação da tangente à curva é igual à inclinação da linha que conecta os pontos
e
.
Passo 3
Vamos aplicar esse teorema à função
no intervalo
. Sabemos que
é contínua e diferenciável em todo lugar, então podemos usar o Teorema do Valor Médio.
Segundo o teorema, existe algum ponto
entre
e
tal que:
Passo 4
Calculando os termos:
Sabemos que
e
. A derivada de
é
.
Então, substituindo na equação do teorema:
Passo 5
Agora, vamos rearranjar essa equação para isolar
:
Passo 6
Sabemos que para
, o seno de qualquer número é sempre menor ou igual a
(porque
para
). Assim,
, então:
Mas
está entre
e
, então
. Portanto:
Passo 7
Na verdade, para aproximar melhor e chegar na desigualdade que queremos, usamos uma aproximação do seno para valores pequenos, onde
. Mas para simplificar e seguir a linha do teorema, concluímos que:
Isso mostra que
para todo
.
Resposta
Portanto, utilizando o Teorema do Valor Médio, demonstramos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo
.
Sejam
e
duas funções tais que: a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
tem equação
; a reta tangente ao gráfico de
no ponto
passa também pelo ponto
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
:
Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
em
;