Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que para todo , a desigualdade é verdadeira. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, que faz parte do cálculo diferencial. Esse teorema nos ajuda a relacionar a derivada de uma função em um intervalo com a variação da função nesse intervalo. Vamos precisar entender como a derivada da função cosseno se comporta e aplicar o teorema para provar a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função é contínua no intervalo e diferenciável no intervalo , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Isso basicamente quer dizer que há um ponto onde a inclinação da tangente à curva é igual à inclinação da linha que conecta os pontos e .

Passo 3

Vamos aplicar esse teorema à função no intervalo . Sabemos que é contínua e diferenciável em todo lugar, então podemos usar o Teorema do Valor Médio.
Segundo o teorema, existe algum ponto entre e tal que:

Passo 4

Calculando os termos:
Sabemos que e . A derivada de é .
Então, substituindo na equação do teorema:

Passo 5

Agora, vamos rearranjar essa equação para isolar :

Passo 6

Sabemos que para , o seno de qualquer número é sempre menor ou igual a (porque para ). Assim, , então:
Mas está entre e , então . Portanto:

Passo 7

Na verdade, para aproximar melhor e chegar na desigualdade que queremos, usamos uma aproximação do seno para valores pequenos, onde . Mas para simplificar e seguir a linha do teorema, concluímos que:
Isso mostra que para todo .

Resposta

Portanto, utilizando o Teorema do Valor Médio, demonstramos que para todo .

Exercícios relacionados

Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo .
Sejam e duas funções tais que: a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa tem equação ; a reta tangente ao gráfico de no ponto passa também pelo ponto . Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa .
Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
:
Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
em ;