Determine se as seguintes funções são deriváveis na origem, isto é, se existe :
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a função é derivável na origem, ou seja, se o limite existe. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que basicamente nos diz a inclinação da função em um ponto específico. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Substituindo na função:
Então, o limite que precisamos analisar é:

Passo 3

Agora, substituímos na expressão do limite:
Simplificando , a expressão fica:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de conforme se aproxima de 0.
Sabemos que é sempre não negativo, e também é não negativo e tende a 0 quando tende a 0. Assim:
E conforme se aproxima de 0, tanto quanto tendem a 0, então o produto deles também tende a 0.

Passo 5

Portanto, o limite fica:
Como o limite existe e é igual a 0, concluímos que a função é derivável na origem.

Resposta

A função é derivável na origem, e sua derivada nesse ponto é igual a 0.

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Determine o domínio das seguintes funções:
i)
Determine se as seguintes funções são deriváveis na origem, isto é, se existe :
(a)
Determine o domínio das seguintes funções:
m)
Nos exercícios de 4 a 6, mostre que o valor da integral de linha é independente do caminho e calcule o valor de qualquer maneira conveniente. C é uma curva qualquer, suave por partes, ligando os pontos e .