Determine se as seguintes funções são deriváveis na origem, isto é, se existe
:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a função
é derivável na origem, ou seja, se o limite
existe. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que basicamente nos diz a inclinação da função em um ponto específico. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Substituindo
na função:
Então, o limite que precisamos analisar é:
Passo 3
Agora, substituímos
na expressão do limite:
Simplificando
, a expressão fica:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de
conforme
se aproxima de 0.
Sabemos que
é sempre não negativo, e
também é não negativo e tende a 0 quando
tende a 0. Assim:
E conforme
se aproxima de 0, tanto
quanto
tendem a 0, então o produto deles também tende a 0.
Passo 5
Portanto, o limite fica:
Como o limite existe e é igual a 0, concluímos que a função
é derivável na origem.
Resposta
A função
é derivável na origem, e sua derivada nesse ponto é igual a 0.
Exercícios relacionados
Determine o domínio das seguintes funções:
i)
i)
Determine se as seguintes funções são deriváveis na origem, isto é, se existe
:
(a)
(a)
Determine o domínio das seguintes funções:
m)
m)
Nos exercícios de 4 a 6, mostre que o valor da integral de linha é independente do caminho e calcule o valor de qualquer maneira conveniente. C é uma curva qualquer, suave por partes, ligando os pontos
e
.