Determine se as seguintes funções são deriváveis na origem, isto é, se existe lim h 0 f(h)-f(0)h :
(b) f(x)=|x| x^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a função é derivável na origem, ou seja, se o limite existe. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que basicamente nos diz a inclinação da função em um ponto específico. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é f(0) = |0| cdot 0^3 = 0 cdot 0 = 0 . Substituindo limh 0 f(h) - 0h = limh 0 f(h)h na função:
Então, o limite que precisamos analisar é:

Passo 3

Agora, substituímos f(h)h = |h| cdot h^3h = |h| cdot h^2 na expressão do limite:
|h| cdot h^2 = |h| cdot h^2
Simplificando , a expressão fica:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de |h| cdot h^2 >= 0 conforme se aproxima de 0.
Sabemos que é sempre não negativo, e também é não negativo e tende a 0 quando tende a 0. Assim:
E conforme se aproxima de 0, tanto quanto tendem a 0, então o produto deles também tende a 0.

Passo 5

Portanto, o limite fica:
limh 0 |h| cdot h^2 = 0
Como o limite existe e é igual a 0, concluímos que a função é derivável na origem.

Resposta

A função é derivável na origem, e sua derivada nesse ponto é igual a 0.

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