Determine se as seguintes funções são deriváveis na origem, isto é, se existe
:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente descobrir se uma função é derivável na origem, ou seja, em x = 0. A função dada é:
Vamos usar os conceitos de derivada e limites para resolver isso. Precisaremos entender como calcular o limite que define a derivada e aplicar algumas propriedades de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser derivável na origem. A função f é derivável em x = 0 se o limite abaixo existir:
Como f(0) = 0, a expressão simplifica para:
Então, nosso objetivo agora é calcular esse limite.
Passo 3
Vamos substituir a expressão de f(h) na fórmula do limite. Sabemos que para h ≠ 0:
Portanto, o limite fica:
Simplificando a fração, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular:
Sabemos que a função seno está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados por h (que está se aproximando de 0), obtemos:
Passo 5
Agora, aplicamos o teorema do sanduíche (ou regra dos três), que diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Sabemos que:
Portanto, pelo teorema do sanduíche:
Resposta
A função
é derivável na origem e a derivada em
é igual a 0.
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f)
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b)
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i)
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:
(b) .
(b)