Determine se as seguintes funções são deriváveis na origem, isto é, se existe lim h 0 f(h)-f(0)h :
(a) f(x)= x^2 sen(1x), & se x neq 0, 0 & se x=0,

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente descobrir se uma função é derivável na origem, ou seja, em x = 0. A função dada é:
Vamos usar os conceitos de derivada e limites para resolver isso. Precisaremos entender como calcular o limite que define a derivada e aplicar algumas propriedades de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser derivável na origem. A função f é derivável em x = 0 se o limite abaixo existir:
limh 0 f(h) - f(0)h
Como f(0) = 0, a expressão simplifica para:
limh 0 f(h)h
Então, nosso objetivo agora é calcular esse limite.

Passo 3

Vamos substituir a expressão de f(h) na fórmula do limite. Sabemos que para h ≠ 0:
Portanto, o limite fica:
Simplificando a fração, temos:

Passo 4

Agora, precisamos calcular:
Sabemos que a função seno está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados por h (que está se aproximando de 0), obtemos:

Passo 5

Agora, aplicamos o teorema do sanduíche (ou regra dos três), que diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Sabemos que:
limh 0 -h = 0 e limh 0 h = 0
Portanto, pelo teorema do sanduíche:

Resposta

A função é derivável na origem e a derivada em é igual a 0.

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