Nos exercícios de 4 a 6, mostre que o valor da integral de linha é independente do caminho e calcule o valor de qualquer maneira conveniente. C é uma curva qualquer, suave por partes, ligando os pontos A e B.

Passo 1

Então, galera! A gente tem que mostrar que o valor da integral de linha não depende do caminho que a gente escolhe, ou seja, é independente do caminho. Depois disso, a gente precisa calcular esse valor de uma forma que seja mais fácil pra gente. Para isso, vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral de linha ser independente do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial pelo qual a gente está integrando é conservativo. Um campo conservativo é aquele que possui um potencial escalar, ou seja, existe uma função cuja derivada é o campo vetorial.

Passo 3

Para verificar se o campo vetorial é conservativo, a gente precisa checar se o rotacional de é zero. O rotacional é calculado usando as derivadas parciais das componentes do campo. Se todas as componentes do rotacional forem zero, então o campo é conservativo.

Passo 4

Como o exercício pede para considerar como uma curva qualquer que liga os pontos e , e sabemos que se o campo é conservativo, a integral será independente do caminho, podemos escolher um caminho mais simples para facilitar o cálculo. Normalmente, escolhemos um caminho reto ou uma combinação de caminhos retos que conectam e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial do campo vetorial . A função potencial é tal que , onde é o gradiente de . Integrando as componentes de , a gente encontra .

Passo 6

Com a função potencial em mãos, a gente pode usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Linhas, que diz que a integral de linha de de até é igual à diferença dos valores de em e . Ou seja:

Resposta

Portanto, a integral de linha é independente do caminho e seu valor é dado por:

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