Nos exercícios de 4 a 6, mostre que o valor da integral de linha é independente do caminho e calcule o valor de qualquer maneira conveniente. C é uma curva qualquer, suave por partes, ligando os pontos
e
.
Passo 1
Então, galera! A gente tem que mostrar que o valor da integral de linha não depende do caminho que a gente escolhe, ou seja, é independente do caminho. Depois disso, a gente precisa calcular esse valor de uma forma que seja mais fácil pra gente. Para isso, vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral de linha ser independente do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial pelo qual a gente está integrando é conservativo. Um campo conservativo é aquele que possui um potencial escalar, ou seja, existe uma função cuja derivada é o campo vetorial.
Passo 3
Para verificar se o campo vetorial
é conservativo, a gente precisa checar se o rotacional de
é zero. O rotacional é calculado usando as derivadas parciais das componentes do campo. Se todas as componentes do rotacional forem zero, então o campo é conservativo.
Passo 4
Como o exercício pede para considerar
como uma curva qualquer que liga os pontos
e
, e sabemos que se o campo é conservativo, a integral será independente do caminho, podemos escolher um caminho mais simples para facilitar o cálculo. Normalmente, escolhemos um caminho reto ou uma combinação de caminhos retos que conectam
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função potencial
do campo vetorial
. A função potencial é tal que
, onde
é o gradiente de
. Integrando as componentes de
, a gente encontra
.
Passo 6
Com a função potencial em mãos, a gente pode usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Linhas, que diz que a integral de linha de
de
até
é igual à diferença dos valores de
em
e
. Ou seja:
Resposta
Portanto, a integral de linha é independente do caminho e seu valor é dado por: