Determine quais das seguintes funções são lineares:
F: R^3 R
F(x, y, z)=-2 x+3 y+7 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a função , definida por , é linear ou não. Para isso, vamos mergulhar no conceito de funções lineares e ver passo a passo como analisar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função linear. Em álgebra linear, uma função é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades principais para quaisquer vetores e qualquer escalar :
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a função preserve a estrutura linear dos vetores no espaço.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função cumpre essas duas propriedades.
  1. Aditividade:
    • Seja e .
    • Isso se expande para
    • Que é igual a
    • Portanto, a aditividade está satisfeita.
  2. Homogeneidade:
    • Seja e .
    • Isso simplifica para
    • Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

A função é linear.

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