Determine quais das seguintes funções são lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a função
, definida por
, é linear ou não. Para isso, vamos mergulhar no conceito de funções lineares e ver passo a passo como analisar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função linear. Em álgebra linear, uma função
é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades principais para quaisquer vetores
e qualquer escalar
:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a função preserve a estrutura linear dos vetores no espaço.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
cumpre essas duas propriedades.
-
Aditividade:
- Seja
e . -
- Isso se expande para
- Que é igual a
- Portanto, a aditividade está satisfeita.
- Seja
-
Homogeneidade:
- Seja
e . -
- Isso simplifica para
- Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.
- Seja
Resposta
A função
é linear.