Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Simplifique as expressões: A[(C+A)^t-A^t] B^t^t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos três matrizes quadradas, A[(C+A)^t-A^t] B^t^t , e , todas do mesmo tamanho. A expressão que a gente precisa simplificar é:
Aqui, estamos trabalhando com operações de transposição e multiplicação de matrizes. Vamos precisar lembrar como essas operações funcionam para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da expressão:
[(C+A)^t - A^t] B^t
Sabemos que a transposição de uma soma de matrizes é igual à soma das transposições. Ou seja:
(C + A)^t = C^t + A^t
Então, substituindo na expressão:
[C^t + A^t - A^t] B^t
Percebe que C^t B^t se cancela, restando:

Passo 3

Agora temos:
A C^t B^t ^t
Precisamos aplicar a transposição no produto (M N)^t = N^t M^t . Uma propriedade importante das transposições é que:
( C^t B^t )^t = (B^t)^t (C^t)^t = B C
Aplicando isso aqui:
Isso porque a transposição da transposição retorna à matriz original, ou seja, .

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão principal:
A cdot B C
Aqui, simplesmente multiplicamos as matrizes na ordem apresentada. Não há mais transposições ou simplificações a fazer.

Resposta

A expressão simplificada é:
A B C

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