Por meio de uma rotação e translação de eixos reduzir as equações das cônicas a seguir a sua forma mais simples. Traçar a curva, apresentando os três sistemas de eixos coordenados.
© C: x^2-6 x y-7 y^2+10 x-30 y+23=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente simplificar a equação de uma cônica usando rotação e translação de eixos. Isso significa que vamos transformar a equação original para uma forma mais fácil de entender, eliminando termos que atrapalham, como o termo de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra, principalmente de rotação de coordenadas e mudança de origem.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
C: x^2 - 6xy - 7y^2 + 10x - 30y + 23 = 0
Perceba que temos um termo de , o que indica que a cônica está inclinada em relação aos eixos coordenados. Nosso objetivo é eliminar esse termo usando uma rotação de eixos.

Passo 3

Para eliminar o termo de tan(2theta) = BA - C , precisamos encontrar o ângulo tan(2theta) = -61 - (-7) = -68 = -34 de rotação que faz com que o coeficiente de 2theta = arctan(-34) approx -36.87^circ na nova equação seja zero. A fórmula para encontrar esse ângulo é:
theta approx -18.43^circ
Onde , e . Substituindo:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Com o ângulo x = x'costheta - y'sintheta , vamos realizar a rotação das coordenadas. As novas coordenadas y = x'sintheta + y'costheta são dadas por:
Vamos substituir essas expressões na equação original para obter a equação na nova base .

Passo 5

Após a substituição e simplificação, a equação na base rotacionada fica sem o termo de A'x'^2 + C'y'^2 + D'x' + E'y' + F' = 0 . A nova equação será da forma:
Vamos identificar os novos coeficientes , , , e após a rotação. Essa etapa envolve bastante cálculo, mas o importante é que o termo de desapareceu.

Passo 6

Agora que eliminamos o termo de e X = x' + h usando uma translação de eixos. Para isso, definimos novas coordenadas Y = y' + k que deslocam a origem para o ponto que anula os coeficientes lineares.
A translação é dada por:
Onde e são escolhidos para eliminar os termos lineares.

Passo 7

Após encontrar os valores de e , substituímos na equação rotacionada e simplificada para obter a forma mais simples da equação da cônica na nova base . Essa forma geralmente facilita a identificação do tipo de cônica (elipse, hipérbole, etc.) e suas características principais, como centro, eixos, etc.

Resposta

A equação simplificada da cônica após rotação e translação dos eixos é:
(X)^2a^2 - (Y)^2b^2 = 1
Onde e são constantes que determinam as dimensões da cônica.

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