Por meio de uma rotação e translação de eixos reduzir as equações das cônicas a seguir a sua forma mais simples. Traçar a curva, apresentando os três sistemas de eixos coordenados.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente simplificar a equação de uma cônica usando rotação e translação de eixos. Isso significa que vamos transformar a equação original para uma forma mais fácil de entender, eliminando termos que atrapalham, como o termo de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra, principalmente de rotação de coordenadas e mudança de origem.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Perceba que temos um termo de
, o que indica que a cônica está inclinada em relação aos eixos coordenados. Nosso objetivo é eliminar esse termo usando uma rotação de eixos.
Passo 3
Para eliminar o termo de
, precisamos encontrar o ângulo
de rotação que faz com que o coeficiente de
na nova equação seja zero. A fórmula para encontrar esse ângulo é:
Onde
,
e
. Substituindo:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Com o ângulo
, vamos realizar a rotação das coordenadas. As novas coordenadas
são dadas por:
Vamos substituir essas expressões na equação original para obter a equação na nova base
.
Passo 5
Após a substituição e simplificação, a equação na base rotacionada fica sem o termo de
. A nova equação será da forma:
Vamos identificar os novos coeficientes
,
,
,
e
após a rotação. Essa etapa envolve bastante cálculo, mas o importante é que o termo de
desapareceu.
Passo 6
Agora que eliminamos o termo de e
usando uma translação de eixos. Para isso, definimos novas coordenadas
que deslocam a origem para o ponto que anula os coeficientes lineares.
A translação é dada por:
Onde
e
são escolhidos para eliminar os termos lineares.
Passo 7
Após encontrar os valores de
e
, substituímos na equação rotacionada e simplificada para obter a forma mais simples da equação da cônica na nova base
. Essa forma geralmente facilita a identificação do tipo de cônica (elipse, hipérbole, etc.) e suas características principais, como centro, eixos, etc.
Resposta
A equação simplificada da cônica após rotação e translação dos eixos é:
Onde
e
são constantes que determinam as dimensões da cônica.